Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique du corps $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
exo7 30
Montrer que les solutions de \(az^2+bz+c=0\) avec \(a\), ...
exo7 31
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes : ...
exo7 3171
Soit \(P \in { K[X]}\). Démontrer que \(P-X\) divise ...
exo7 3174
Soient \(A,B,C,D \in {\R[X]}\) tels que : ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3203
Chercher le reste de la division euclidienne de \((X+1)^n - X^n - 1\) par ...
exo7 3204
Pour quels \(n\in \N\) le polynôme \((1+X^4)^n - X^n\) est-il divisi ...
exo7 3214
Factoriser \(X^n-1\) sur \(\C\).
exo7 3215
Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...
exo7 3219
Donner une CNS sur \(p,q \in \C\) pour que \(X^8 + X^4 + 1\) divise ...
exo7 3221
Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...
exo7 3227
Soient \(P,Q \in { K[X]}\).
exo7 3228
Soit \(\theta \in \R\) tel que \(\sin n\theta \ne 0\). Démontrer que ...
exo7 3234
Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...
exo7 3238
Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...
exo7 3246
Factoriser \(X^8 + X^4 + 1\) sur \(\R\).
exo7 3253
Soit \(K\) un sous-corps de \(\C\), \(a\in K\) e ...
exo7 3259
Résoudre dans \(\C\) le système : ...
exo7 3261
Soient \(a,b,c \in \C\).
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique ...
exo7 3262
Soit \(P = X^3 + pX + q\) de racines \(a,b,c\).
exo7 3263
Soient \(A,B,C\) les points dont les affixes sont les racines de \(X^3 + pX + q\) ...
exo7 3267
Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...
exo7 3268
Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...
exo7 33
Pour \(z \in \Cc \setminus \{2i\}\), on pose \[f(z)=\frac{2z-i}{z-2i}.\]
exo7 3304
Soit \(E\) l’ev \(\R^\R\), \(F\) le sev engendré ...
exo7 34
On note \(j = e^{2 \pi \over 3}.\)
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 35
Calculer les racines carrées de \(1+i\), \(7+24i\), ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3553
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A^n = I\) et ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 359
Pour quelles valeurs de \(m\) le polynôme \(P=(X+1)^m -X^m-1\) est-il divisible p ...
exo7 36
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
exo7 37
On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E)\) suivante: ...
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 39
Pour quelles valeurs de \(z\in\Cc\) a-t-on \(\vert 1+iz\vert=\vert 1-iz\vert.\) ...
exo7 3905
Résoudre les équations suivantes :
exo7 3967
Soit \(f(x) = e^{x\sqrt3}\sin x\). Calculer \(f^{(n)}(x)\) pour ...
exo7 399
Montrer que le polynôme \(nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n\) admet une racine multiple. Application : déterminer les ...
exo7 4
Placer dans le plan cartésien, les points d’affixes suivantes : ...
exo7 40
Pour tout nombre complexe \(Z\), on pose \(P(Z)=Z^4-1\).
exo7 400
Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).
exo7 403
Décomposer \(X^{12}-1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\).
exo7 4033
Développer de deux manières \((1-e^x)^n\) en \(0\) à l’ordre ...
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 406
Soit \(P\) un polynôme de \({\R}[X]\) tel que ...
exo7 407
Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...
exo7 41
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante : ...
exo7 411
Montrer que le polynôme \(X^3+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Factor ...