Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
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L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 3176
Soit \(P \in {\Z[X]}\) et \(a,b \in \Z^*\) premiers entre eux tels que ...
exo7 3177
Pour \(A \in { K[X]}\) on note ...
exo7 3179
Trouver \(P,Q \in {\R[X]}\) premiers entre eux tels que \(P^2 + Q^2 = (X^2+1)^2\) ...
exo7 3180
Trouver tous les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que : ...
exo7 3181
Montrer qu’il existe un unique polynôme \(P_n \in { K[X]}\) tel que ...
exo7 3182
Démontrer qu’il existe \(P,Q \in K_{n-1}[X]\) uniques tels que ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3184
Soit \(P \in {\R[X]}\) tel que : \(\forall\ x \in \R\), on a ...
exo7 3185
Soit \(P \in {\R[X]}\). Existe-t-il \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3188
Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...
exo7 3189
Soient \(x_1,\dots,x_n\in\C\) distincts et \(y_1,\dots,y_n\in\C\). Trouver ...
exo7 3190
Soit \(S\subset \N\) fini et \(P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]\).
exo7 3191
Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1\) est une r ...
exo7 3192
Soit \(P\in\R[X]\). Montrer :
(\(\forall\ x\ge 0,\ P(x) > 0\)) ...
exo7 3195
On donne un entier \(n\ge 0\).
Montrer qu’il existe des polynômes ...
exo7 3196
Soit \(A \in { K[X]}\) de degré \(> 0\). Montrer que pour tout po ...
exo7 3197
Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considè ...
exo7 3198
Soit \(E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,\) et ...
exo7 3199
Soient \(P \in { K[X]}\), \(a,b\in K\) distincts, et ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3200
Déterminer les polynômes \(P \in \Q_3[X]\) divisibles par ...
exo7 3201
Calculer le pgcd de \(P\) et \(Q\) pour :
exo7 3202
Montrer que les polynômes \(P\) et \(Q\) suivants sont premiers entr ...
exo7 3203
Chercher le reste de la division euclidienne de \((X+1)^n - X^n - 1\) par ...
exo7 3204
Pour quels \(n\in \N\) le polynôme \((1+X^4)^n - X^n\) est-il divisi ...
exo7 3205
Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).
exo7 3206
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
exo7 3207
Trouver \(\lambda, \mu \in \C\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...
exo7 3208
Soit \(P \in { K[X]}\) tel que les restes des divisions de \(P\) par ...
exo7 3209
Soient \(m,n \in \N^*\). Chercher pgcd\(( X^n-1,X^m-1)\).
exo7 3210
Soient \(P,Q \in { K[X]}\) non nuls et \(D = \text{pgcd}(P,Q)\).
exo7 3211
Soient \(A,B \in { K[X]}\), \(p = \deg A\), ...
exo7 3212
Soit \(P \in { K[X]}\). Démontrer que \(\pgcd(P(X),P(-X))\) et ...
exo7 3213
Soient \(A,B,P \in { K[X]}\) avec \(P\) non constant. Montrer que si ...
exo7 3214
Factoriser \(X^n-1\) sur \(\C\).
exo7 3215
Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...
exo7 3216
Montrer que si \(p \le n\), alors \(X^{2^p} + X^{2^{p-1}} + 1\) divise ...
exo7 3217
Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise \(X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1\). Pour ...
exo7 3218
Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise ...
exo7 3219
Donner une CNS sur \(p,q \in \C\) pour que \(X^8 + X^4 + 1\) divise ...
exo7 3220
Factoriser \(P(X) = 3X^4 + 11X^3 + 20X^2 + 7X - 5\), sachant qu’il existe des racines rationnelles.
exo7 3221
Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...
exo7 3222
Factoriser \(P = X^5 - 13X^4 + 67X^3 - 171X^2 + 216X - 108\) sachant qu’il admet une racine triple.
exo7 3223
Soit \(P = X^5 + aX^2 + 15X - 6i\). Trouver \(a \in \C\) tel que ...
exo7 3224
Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...
exo7 3225
Soient \(p,q\in\C\) et \(P(X) = X^5 + pX + q\). Donner une CNS sur ...
exo7 3226
Factoriser ...
exo7 3227
Soient \(P,Q \in { K[X]}\).