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Montrer que \(S^3\) est un sous-groupe de \(\mathbb{H}^*\) considéré comme groupe ...

Soit l’ensemble \(E=\Z \times \Z\) muni de l’opération binaire ...

Soit l’ensemble \(G=\lbrack 0,1\lbrack\) muni de la loi de composition interne ...

Soit l’ensemble de matrices ...

Soient \(a,b,c\) les éléments d’un groupe. Montrer que l’équation \(xaxba=xbc\) a ...

Dans le groupe des entiers modulo \(11\) muni de l’opération de multiplication, lesquels parmi les ensembles suiva ...

Montrer qu’un groupe ayant au plus \(4\) éléments est abélien. (Indication : Co ...

Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ?

Lesquelles parmi les tables de Cayley suivantes décrivent un groupe ?

Montrer que si un ensemble \(E\) est muni d’une opération binaire qui vérifie les propriétés

• ...

Montrer que, dans un groupe \(G\), pour tout élément \(a\in G\), l’ensemble des ...

Soit \(G\) un un groupe engendré par deux éléments \(x\) et ...

Vérifier que pour tout cycle \((i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2\), dans \(S_n\) et ...

Dans le groupe symétrique \(S_4\) trouver les sous-groupes suivants

Soit l’ensemble \(E=\{ a,b,c,d,e \}\) qui, muni de l’opération binaire \(*\), dev ...

Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

Soit \(K=\{ e,a,b,c \}\) un groupe d’ordre \(4\) tel que ...

Soit \((G,\cdot)\) un groupe fini d’ordre \(n\). Trouver toutes les morphismes de ...

Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On appelle sous-groupe caractéristique de ...

Combien d’automorphismes a un groupe cyclique d’ordre \(p\), où \(p\) est un nomb ...

Montrer que les seuls groupes distingués de \(S_5\) sont ...

Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe d’indice ...

Prouver que les permutations ...

Soit \(\phi\) un automorphisme de \(S_n\). Montrer que si ...

Soit \(G\) un \(p\)-groupe opérant sur un ensemble fini ...

Montrer qu’un groupe infini \(G\) qui a un sous-groupe propre d’indice fini \(H\) ...

Prouver que tout sous-groupe d’ordre 35 est cyclique.

Soit \(G\) un groupe fini avec \(|G|=p^2q\), où ...

Soit \(G\) un groupe fini abélien. Montrer que pour tout diviseur \(d\) de ...

Soit \(\C\) muni des opérations binaires

...

Soit \(A\) un anneau non nécessairement commutatif. Soit \(a,b\in A\) tels que ...

Montrer que les anneaux de polynômes \(\R[X]\) et \(\C[X]\) ne sont pas isomorphe ...

Les ensembles suivants sont-ils des anneaux vis-à-vis des opérations usuelles d’addition et de multiplication? Sont-ils des corps ? ...

Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux et un seul de \(\Z /4\Z\) à ...

Montrer que \(\Z /4\Z \times \Z /4\Z\) a exactement trois sous-anneaux.

Dans \(\Z /10\Z\) montrer que les multiples de 5 forment un anneau isomorphe à ...

Montrer que l’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneaux est un idéal.

Montrer que tout anneau intègre fini est un corps.

Montrer que tout morphisme de corps est injectif.

Soit \(p\) un nombre premier et \(A\) un anneau intègre de caractéristique ...

Soit \(A\) un anneau intègre et \(a,b,c \in A\setminus \{0 \}\). Montrer que, cha ...

Montrer que \(\Q (\sqrt{d}),\; d=7,\; 11\), est un corps.

Pour les anneaux de polynômes sur un corps \(F\) montrer que ...

Trouver tous les automorphismes de l’anneau \(\mathbb{F} [X]\), où \(\mathbb{F}\) ...

Montrer que tout monomorphisme \(A\to A'\) d’anneaux intègres engendre un monomorphisme des corps des fraction ...

Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...

Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :

Montrer que si \(A[X]\) est principal, alors \(A\) est principal.

Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...

Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...