Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Structure de groupe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe. | Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif. Exemples usuels : groupes additifs $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, groupes multiplicatifs $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{Q}_+^*$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{U}$, $\mathbb{U}_n$. |
Groupe des permutations d’un ensemble. Groupe produit. Sous-groupe : définition, caractérisation. Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. | Notation $S_X$. |
Image et noyau d’un morphisme. Condition d’injectivité. Isomorphisme. | Notations $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$. |
exo7 6369
Soit \(G\) un groupe et \(S\) une partie de ...
exo7 6370
Soit \(G\) un groupe et \(A\), \(B\) deux sous-g ...
exo7 6371
Dans \(GL(2,\Rr)\) : le groupe des matrices \((2,2)\) inversibles à coefficients ...
exo7 6372
Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique (monogène) est cyclique.
exo7 6373
Soit \(G\) un groupe.
exo7 6375
Soit \(G\) un groupe et \(A\) un sous-groupe de ...
exo7 6378
Montrer que le groupe \(G\) donné par sa présentation:
...
exo7 6387
Soit \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\). Montrer que ...
exo7 6392
Notons \(l \subset \Rr^2\) une droite affine de \(\Rr^2\).
exo7 6397
Soient \(f\), \(g\) deux isométries du plan affine euclidien ...
exo7 6413
Montrer que \(S^3\) est un sous-groupe de \(\mathbb{H}^*\) considéré comme groupe ...
exo7 6438
Soit l’ensemble \(E=\Z \times \Z\) muni de l’opération binaire ...
exo7 6439
Soit l’ensemble \(G=\lbrack 0,1\lbrack\) muni de la loi de composition interne ...
exo7 6440
Soit l’ensemble de matrices ...
exo7 6441
Soient \(a,b,c\) les éléments d’un groupe. Montrer que l’équation \(xaxba=xbc\) a ...
exo7 6442
Dans le groupe des entiers modulo \(11\) muni de l’opération de multiplication, lesquels parmi les ensembles suiva ...
exo7 6443
Montrer qu’un groupe ayant au plus \(4\) éléments est abélien. (Indication : Co ...
exo7 6444
Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ?
exo7 6445
Lesquelles parmi les tables de Cayley suivantes décrivent un groupe ?
| * ... |
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exo7 6446
Montrer que si un ensemble \(E\) est muni d’une opération binaire qui vérifie les propriétés
...
exo7 6447
Montrer que, dans un groupe \(G\), pour tout élément \(a\in G\), l’ensemble des ...
exo7 6449
Soit \(G\) un un groupe engendré par deux éléments \(x\) et ...
exo7 6454
Vérifier que pour tout cycle \((i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2\), dans \(S_n\) et ...
exo7 6455
Dans le groupe symétrique \(S_4\) trouver les sous-groupes suivants
exo7 6457
Soit l’ensemble \(E=\{ a,b,c,d,e \}\) qui, muni de l’opération binaire \(*\), dev ...
exo7 6459
Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :
exo7 6460
Soit \(K=\{ e,a,b,c \}\) un groupe d’ordre \(4\) tel que ...
exo7 6461
Soit \((G,\cdot)\) un groupe fini d’ordre \(n\). Trouver toutes les morphismes de ...
exo7 6462
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On appelle sous-groupe caractéristique de ...
exo7 6464
Combien d’automorphismes a un groupe cyclique d’ordre \(p\), où \(p\) est un nomb ...
exo7 6465
Montrer que les seuls groupes distingués de \(S_5\) sont ...
exo7 6469
Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe d’indice ...
exo7 6471
Prouver que les permutations ...
exo7 6480
Soit \(\phi\) un automorphisme de \(S_n\). Montrer que si ...
exo7 6483
Soit \(G\) un \(p\)-groupe opérant sur un ensemble fini ...
exo7 6484
Montrer qu’un groupe infini \(G\) qui a un sous-groupe propre d’indice fini \(H\) ...
exo7 6486
Prouver que tout sous-groupe d’ordre 35 est cyclique.
exo7 6487
Soit \(G\) un groupe fini avec \(|G|=p^2q\), où ...
exo7 6496
Soit \(G\) un groupe fini abélien. Montrer que pour tout diviseur \(d\) de ...
exo7 7100
Soient \(A\), \(B\), \(C\) et ...
exo7 7159
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...
exo7 7160
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7290
Soit \((G,\star)\) un groupe. Donner la définition du sous-groupe engendré par une partie ...
exo7 7291
Dire si les couples suivants sont des groupes : \((\Z,+)\) ; \((\Z,\times)\) ; ...
exo7 7293
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\Z,+)\) contenant ...
exo7 7294
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers non tous nuls et ...
exo7 7295
Déterminer \(45\Z \cap 60\Z\).
exo7 7296
L’application \(F~:(\Z,+)\to (\Z,+)\), \(n\mapsto 1\) est-elle un morphisme de gr ...