Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 7092
On donne trois cercles disjoints, de rayons distincts et à l’extérieur les uns des autres. Chacune des trois paires de cercles fournit deux tangent ...
exo7 7094
Soient \(D\) et \(D'\) deux droites. Soient ...
exo7 7095
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles (non aplatis) sans sommet ...
exo7 7096
Soient \(f\) et \(g\) deux homothéties de même rapport et de centres distincts. D ...
exo7 7099
On donne deux droites parallèles et un point \(A\) entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant ...
exo7 7103
Construire un octogone régulier inscrit dans un carré donné (c’est-à-dire un octogone dont quatre des huit cotés s’appuient sur les cotés du carré) ...
exo7 7109
Soit \(BOA\) un triangle indirect isocèle en \(O\), ...
exo7 7110
Soit \(ABCD\) un carré, \(E\) le symétrique de ...
exo7 7111
On considère trois droites parallèles \(D_1\), \(D_2\) et ...
exo7 7135
Soit \(\mathcal D\) une droite et \(A\) et \(B\) ...
exo7 7152
Soit \(ABCD\) un carré direct de côté \(1\), et soient ...
exo7 7160
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7272
Soit \(E\) un plan euclidien et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7273
Soit \(d\) une droite d’un plan euclidien orienté \(E\) de vecteur directeur ...
exo7 7274
On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7276
Étant données deux demi-droites \([OA)\) et \([OB)\), on veut construire la bisse ...
exo7 7279
Étant données trois droites concourantes, construire un triangle dont ce sont les médiatrices. (Indication: on pourra considérer l’application comp ...
exo7 7285
Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion ...
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7357
Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
exo7 7410
Dans \(\Rr^4\) on considère les quatre vecteurs ...
exo7 7412
Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit ...
exo7 7414
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) de ...
exo7 7416
Donner la liste des sous-espaces affines du plan affine \(\Rr^2\) et de l’espace affine ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7434
Soit \(E\) un espace affine et \(f\) une application affine dont la partie linéai ...
exo7 7436
Soit \(E\) un espace affine et \(F\) et \(G\) de ...
exo7 7437
Dans l’espace affine \(E=\Rr^3_{aff}\), on considère un endomorphisme affine ...
exo7 7438
Dans l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\), donne ...
exo7 7442
On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7458
En décomposant les rotations en produits de réflexions, déterminer le centre d’une composée de deux rotations dont la somme des angles n’est pas nu ...
exo7 7459
Que peut-on dire d’une isométrie plane qui a trois points fixes non alignés ?
exo7 7460
On munit le plan affine euclidien d’un repère orthonormé \((O,i,j)\) et on l’identifie au plan complexe. Écrire à ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7463
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7466
On considére le plan muni d’un un repère orthonormé (\(O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}\)) et l ...
exo7 7468
On considère le plan muni d’un un repère orthonormé (\(O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}\)) et l ...
exo7 7475
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soient \(\mathcal{R}\) un repère cartésien o ...
exo7 7477
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
exo7 7480
Construire un segment \([A,B]\) connaissant son milieu \(I\) et sachant que ...
exo7 7481
Construire un triangle équilatéral \(ABC\) connaissant \(A\) et sachant que ...
exo7 7483
Construire un carré \(ABCD\) sachant que \(A\) et ...
exo7 7496
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soit \(\mathcal{R}=(O,i,j)\) un repère carté ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7504
Dans le plan euclidien orienté muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath})\), on considère ...
exo7 7804
Soit \(f\) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel ...