Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 3182
Démontrer qu’il existe \(P,Q \in K_{n-1}[X]\) uniques tels que ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3184
Soit \(P \in {\R[X]}\) tel que : \(\forall\ x \in \R\), on a ...
exo7 3185
Soit \(P \in {\R[X]}\). Existe-t-il \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3187
Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...
exo7 3188
Déterminer tous les polynômes \(P\) tels que ...
exo7 3189
Soient \(x_1,\dots,x_n\in\C\) distincts et \(y_1,\dots,y_n\in\C\). Trouver ...
exo7 3190
Soit \(S\subset \N\) fini et \(P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]\).
exo7 3191
Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1\) est une r ...
exo7 3192
Soit \(P\in\R[X]\). Montrer :
(\(\forall\ x\ge 0,\ P(x) > 0\)) ...
exo7 3195
On donne un entier \(n\ge 0\).
Montrer qu’il existe des polynômes ...
exo7 3196
Soit \(A \in { K[X]}\) de degré \(> 0\). Montrer que pour tout po ...
exo7 3197
Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considè ...
exo7 3198
Soit \(E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,\) et ...
exo7 3199
Soient \(P \in { K[X]}\), \(a,b\in K\) distincts, et ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3200
Déterminer les polynômes \(P \in \Q_3[X]\) divisibles par ...
exo7 3201
Calculer le pgcd de \(P\) et \(Q\) pour :
exo7 3203
Chercher le reste de la division euclidienne de \((X+1)^n - X^n - 1\) par ...
exo7 3204
Pour quels \(n\in \N\) le polynôme \((1+X^4)^n - X^n\) est-il divisi ...
exo7 3205
Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).
exo7 3206
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
exo7 3207
Trouver \(\lambda, \mu \in \C\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...
exo7 3208
Soit \(P \in { K[X]}\) tel que les restes des divisions de \(P\) par ...
exo7 3210
Soient \(P,Q \in { K[X]}\) non nuls et \(D = \text{pgcd}(P,Q)\).
exo7 3213
Soient \(A,B,P \in { K[X]}\) avec \(P\) non constant. Montrer que si ...
exo7 3214
Factoriser \(X^n-1\) sur \(\C\).
exo7 3215
Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...
exo7 3216
Montrer que si \(p \le n\), alors \(X^{2^p} + X^{2^{p-1}} + 1\) divise ...
exo7 3217
Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise \(X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1\). Pour ...
exo7 3218
Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise ...
exo7 3219
Donner une CNS sur \(p,q \in \C\) pour que \(X^8 + X^4 + 1\) divise ...
exo7 3220
Factoriser \(P(X) = 3X^4 + 11X^3 + 20X^2 + 7X - 5\), sachant qu’il existe des racines rationnelles.
exo7 3221
Trouver les racines de \(P(X) =X^4-3X^3+6X^2-15X+5\) sachant que deux racines, ...
exo7 3222
Factoriser \(P = X^5 - 13X^4 + 67X^3 - 171X^2 + 216X - 108\) sachant qu’il admet une racine triple.
exo7 3223
Soit \(P = X^5 + aX^2 + 15X - 6i\). Trouver \(a \in \C\) tel que ...
exo7 3224
Donner une condition sur \(\lambda\) pour que l’équation : ...
exo7 3225
Soient \(p,q\in\C\) et \(P(X) = X^5 + pX + q\). Donner une CNS sur ...
exo7 3226
Factoriser ...
exo7 3227
Soient \(P,Q \in { K[X]}\).
exo7 3228
Soit \(\theta \in \R\) tel que \(\sin n\theta \ne 0\). Démontrer que ...
exo7 3229
Démontrer que \(1 + X + X^n\) n’a que des racines simples.
exo7 3230
Quels sont les polynômes \(P \in { K[X]}\) tels que \(P'\) divis ...
exo7 3231
Trouver tous les polynômes \(P \in {\C[X]}\) tels que …
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3233
Soient \(P,Q \in {\C[X]}\) tels que : \(\forall\ z \in \C,\ |P(z)| = |Q(z)|\). D ...
exo7 3234
Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...
exo7 3235
Soit \(P \in {\Z[X]}\) tel que \(P(x) = 7\) pour au moins 4 valeurs distinctes ...
exo7 3236
Soit \(\alpha \in \C\). On dit que \(\alpha\) est algébriq ...