Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
d) Loi d’une variable aléatoire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Loi $P_X$ d’une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $E$. | La probabilité $P_X$ est déterminée par la distribution de probabilités $(P(X=x))_{x\in E}$. On note $X\sim Y$ la relation $P_X=P_Y$. |
Variable aléatoire $f(X)$. | Si $X\sim Y$ alors $f(X)\sim f(Y)$. |
Variable uniforme sur un ensemble fini non vide $E$. | Notation $X\sim\mathscr{U}(E)$. |
Variable de Bernoulli de paramètre $p\in[0,1]$. | Notation $X\sim\mathscr{B}(p)$. Interprétation comme succès d’une expérience. |
Variable binomiale de paramètres $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in[0,1]$. Loi conditionnelle d’une variable aléatoire $X$ sachant un événement $A$. | Notation $X\sim\mathscr{B}(n,p)$. |
Couple de variables aléatoires. Loi conjointe, lois marginales. | Un couple de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit. Notation $P(X=x,Y=y)$. Extension aux $n$-uplets de variables aléatoires. |
Analyse de covariance et moments d'une loi normale
On considère deux variables aléatoires réelles \(X\) et \(U\) indépendantes, ...
Approximation par une loi normale
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0.05\) est fausse et sur des pièces de d ...
Assurance vie, loi du nombre de décès et bénéfice annuel
Une compagnie assure \(N=10\,000\) clients sur la vie, qui paient chacun une prime annuelle de ...
Couple de variables
Deux urnes \(U_1\) et \(U_2\) contiennent des boules permettant des gains ou des ...
Deux approximations
Une machine produit des rondelles métalliques en grande série. Une rondelle est acceptée si son diamètre extérieur est compris entre ...
Dilemme
On considère deux avions \(A\) et \(B\) ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les ...
Double jeu et probabilités discrètes
Un joueur effectue une suite de parties de pile ou face indépendantes, avec probabilité \(p\) d’obtenir pile à cha ...
Dé truqué
On considère un dé truqué cubique dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\) ...
Estimation par inégalité
Une population de personnes doit voter à l’élection présidentielle. La proportion souhaitant voter pour la candidate Mme A. est inconnue, on la not ...
Etude d'un jeu
Timothée vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a installé qu’une roulette et a simplifié le jeu de la manière suivante : on ne peut ...
exo7 5984
Un étudiant s’habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d’habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce ...
exo7 5996
Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. M ...
exo7 6001
Dans mon trousseau de clés il y a \(8\) clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé ...
exo7 6005
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. P ...
exo7 6006
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements:
...
exo7 6007
Un avion peut accueillir 20 personnes; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit ...
exo7 6008
L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois s ...
exo7 6009
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses ...
exo7 6010
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
exo7 6012
Un industriel doit vérifier l’état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D’après des statistiques précédentes, il éva ...
exo7 6019
Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, var ...
exo7 6020
On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion \(p=0.02\) est défectueuse.
exo7 6021
On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion \(p=0,05\) est fausse et sur des pièces de 2 ...
exo7 6022
On jette un dé 180 fois. On note \(X\) la variable aléatoire : <<nombre de sorties du 4>>.
exo7 6023
Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu \(20\)% des voix. On prend au hasard dan ...
exo7 6024
On suppose qu’il y a une probabilité égale à \(p\) d’être contrôlé lorsqu’on prend le tram. Monsieur A fait ...
exo7 6026
Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de \(150\) places ; pour ce vol des estimations ont montré que l ...
exo7 6895
On veut transmettre un message électronique composé des digits 0 et 1. Les conditions imparfaites de transmission font en sorte qu’il y a une proba ...
exo7 6902
Soit \(n\) un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de ...
exo7 6903
Une usine fabrique des transistors. Chaque transistor a une probabilité de 3% d’être défectueux. Quelle est la loi du nombre de transistors défectu ...
exo7 6904
L’entreprise Luminex fabrique des lampes, dont 80% durent plus de 3000 heures. Des tests sont effectués sur des échantillons de taille ...
exo7 6905
Un transporteur aérien a observé que 25% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent pas au départ. Il décide d’ac ...
exo7 6906
On lance \(10\) fois une pièce supposée bien équilibrée. On désigne par \(X\) la ...
exo7 6908
Dans une dictature militaire, le dictateur veut augmenter le nombre de naissances de garçons. Il impose la règle suivante : si une femme donne nais ...
exo7 6909
On lance quatre dés. Quelle est la probabilité d’obtenir deux 6 et deux 3 ?
exo7 6910
On lance deux dés à 6 faces. Déterminer la loi de la variable aléatoire donnant le maximum des deux chiffres obtenus.
exo7 6912
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \(Z=(X,Y)\), avec ...
exo7 6913
Le tableau ci-dessous donne la loi d’un couple de variables aléatoires \((X,Y)\), avec ...
exo7 6914
Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n’élève pas plus d’un chien et Sophie pas plus d’un chat. La probabilité po ...
exo7 6915
Dans une pile de \(n\) (\(n \geq 2\)) feuilles dactylographiées, se trouvent les ...
exo7 6917
Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches.
exo7 6918
Pour une élection, une population de \(N\) individus a eu à choisir entre voter pour le candidat ...
exo7 6934
Sur un lot de 700 boulons soumis à des essais de rupture, 300 ont résisté. Sur un second lot de 225, 125 ont résisté. Peut-on admettre, au seuil de ...
exo7 6944
Soit \((X_n)_{n\geq 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre ...
exo7 6945
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\).
exo7 6947
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\).
Gain aléatoire sur une cible
Un joueur tire "parfaitement au hasard" sur une cible de 10 cm de rayon, constituée de deux parties : un disque central de rayon 5 cm, numéroté 1, ...
Identification de lois usuelles
Pour chacune des situations suivantes, déterminer la loi de la variable aléatoire \(X\) et donner son espérance. ...
Jeu de boules
Une urne contient \(n\) boules blanches numérotées de \(1\) à ...
Jeu de boules
On tire \(4\) boules avec remise dans une urne contenant des boules numérotées de ...