Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
b) Étude d’une fonction
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Réduction du domaine d’étude selon les symétries et/ou les périodicités déterminées. Tableau de variations. Équation de la tangente en un point. Asymptotes verticales et horizontales, tracé du graphe. | On abordera uniquement des exemples simples. Les notions de continuité, dérivabilité et asymptotes obliques seront étudiées dans les chapitres Analyse 6, Analyse 7 et Analyse 10. |
Des inégalités sympathiques
Démontrer les inégalités suivantes : ...
Des sinus et des $x$
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R\) par ...
exo7 1263
Soient \(f:x\mapsto \dfrac{x^3+2}{x^2-1}\) et ...
exo7 1266
Soit \(g\) la fonction définie par : ...
exo7 1285
Étudier la fonction : \[h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}.\] Domaine de définition, continuité et ...
exo7 188
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) définie par \(f(x) = x^3-x\).
...
exo7 2049
Tracer la courbe paramétrée définie par : ...
exo7 212
Montrer que la relation \(\mathcal{R}\) définie sur \(\Rr\) par : ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2715
Montrer que la courbe définie par \[\rho = 1+\tan{\theta\over2}\] admet une asymptote; préciser la position de la ...
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 3903
Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.
exo7 3977
Montrer que pour tout \(x\) réel, il existe \(a(x)\) unique tel que ...
exo7 3986
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) convexe telle que \({\cal C}_f\) admet une asymptote d ...
exo7 4029
Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en \(+\infty\) et déterminer la position s’il y a lieu ...
exo7 4042
Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...
exo7 4094
Soit \(a : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) croissante strict ...
exo7 4120
Soit \(y\) une solution maximale de l’équation \(y'=x-e^y\).
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4646
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) \(2\pi\)-périodiques de classe ...
exo7 480
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\), \(f(x) = x^3-3x\). Tracer les graphes des fonct ...
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 5079
Soit \(k\) un réel distinct de \(-1\) et de ...
exo7 5092
On considère la fonction numérique \(f\) telle que :
...
exo7 5099
Etudier brièvement la fontion \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) et tracer son graphe.
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5205
Construire l’ensemble des points \(M\) de coordonnées polaires ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5530
Construire les courbes suivantes :
exo7 5531
Etude complète de la courbe d’équation polaire \(r=\frac{2\cos\theta+1}{2\sin\theta+1}\).
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 6981
Représenter les courbes d’équation cartésienne \(y=f(x)\), donner l’équation de leur tangente au point d’abscisse ...
exo7 6983
Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes:
exo7 6989
Étudier les courbes d’équations polaires suivantes:
exo7 7032
Soient \(a, b, c\) trois réels et \(f : \R\to \R, \: x\mapsto ae^x+bx+c\). On sup ...
exo7 856
On considère l’équation différentielle suivante : \[(E)\qquad y'-(1-\tan(x))y=\cos(x).\] On s’intéresse à cet ...
Forward pass et interprétation d'un neurone sigmoïde
On considère un réseau réduit à un seul neurone sigmoïde, de paramètres \(w = 2\) et ...
Le problème du gradient vanishing
On considère un RNN simple scalaire sans entrée, pour isoler la dynamique de l’état caché : ...
Études de fonctions
Etudier et représenter les fonctions suivantes : ...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...