Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
c) Fonctions usuelles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonctions affines. | |
Fonctions puissances d’exposant entier (dans $\mathbb{Z}$), . Fonction racine carrée. Fonctions exponentielle et logarithme néperien (ln). | Les polynômes seront développés dans le chapitre Algèbre – Polynômes réels. ⇌ Pour ces diverses fonctions, les courbes représentatives sont mises en valeur comme des outils fondamentaux pour la modélisation, la reconnaissance des formes graphiques etc. |
Notation $a^b$. Fonctions exponentielles : $x \mapsto a^x$ avec $a \in \mathbb{R}_+^*$. | On généralise les propriétés évoquées dans Outils 2. |
Fonction logarithme décimal (log). | Les logarithmes dans une base différente de e et 10 sont hors programme. Les fonctions hyperboliques sont hors programme. |
Fonctions puissances : $x \mapsto x^\alpha$ avec $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ | $x \mapsto x^\alpha$ est définie sur $\mathbb{R}_+^*$. |
Fonctions circulaires : sin, cos et tan. | Formule $\tan' = 1 + \tan^2 = \dfrac{1}{\cos^2}$. |
Fonctions partie entière $\lfloor \cdot \rfloor$ et valeur absolue $\lvert \cdot \rvert$. |
Des inégalités en tout genre
Résoudre les inégalités suivantes :
Des équations à prendre au second degré
Résoudre les équations suivantes :
Développements en série entière au voisinage de $0$
On considère les fonctions \[f(x)=\frac{1}{3+\frac{x}{2}} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}.\]
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1280
Donner la nature des intégrales suivantes : ...
exo7 1281
Montrer que \(\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.\)
exo7 1297
Nature et calcul de : ...
exo7 1346
Traduire en termes d’homomorphisme de groupes les propriétés traditionnelles suivantes :
exo7 1491
Déterminer \(\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}\).
exo7 1729
Soient \(n \in \Nn^*\) et \(x_1, \ldots, x_n \in ]0, + \infty[\).
exo7 2652
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée de \[\exp[-0.02\sqrt{4.03}].\] ...
exo7 2689
Montrer que \[\forall x\in\R,\qquad |\sin x| \leq |x|,\] ...
exo7 3886
Montrer que : \(\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x\).
En déduire ...
exo7 3888
Montrer que : \(\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t\).
exo7 3890
Soient \(0 < a < b\). Montrer que : ...
exo7 3943
Trouver \(\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}\).
exo7 3964
Calculer la dérivée \(n^{\text{ème}}\) de la fonction \(x \mapsto \cos^3 x\). ...
exo7 3993
Soit \(f : {\R} \to {\R^{+*}}\). Montrer que : (\(\ln f\) est convexe) ...
exo7 4022
\(x^{\arcsin x} \to 1\) lorsque ...
exo7 4025
On pose \(u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p\). Trouver : ...
exo7 4231
Montrer que : \(\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x\).
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4531
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\) et ...
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 4609
Établir la convergence puis calculer la valeur de \(\int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t\).
exo7 461
Montrer que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.
exo7 5099
Etudier brièvement la fontion \(x\mapsto\frac{\ln x}{x}\) et tracer son graphe.
exo7 5101
Trouver \(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}\).
exo7 5102
Construire le graphe des fonctions suivantes :
exo7 5153
Tout entier naturel non nul \(n\) s’écrit de manière unique sous la forme
...
exo7 5415
Montrer que pour tout réel strictement positif \(x\), on a : ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 635
Calculer : ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...
exo7 705
Calculer les dérivées des fonctions :
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 771
Résoudre \[x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x} ;\] ...
exo7 773
Démontrer les inégalités : ...
exo7 776
Résoudre l’équation \(x^y = y^x\) où \(x\) et ...
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
Pourquoi plusieurs couches ? Le problème XOR
On veut attribuer l’étiquette \(1\) aux points \((1,0)\) et ...
Score d'un perceptron sigmoïde : taille et poids
On reprend, sur des données fictives, un perceptron à deux entrées qui reçoit la taille \(t\) (en mètres) et le po ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...