Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Algèbre linéaire 2 – Matrices
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Le but de ce chapitre est de mettre en place le calcul sur les matrices avec ses analogies et différences vis-à-vis du calcul sur les nombres réels et complexes. La mise en pratique de ce calcul peut nécessiter l’usage de l’ordinateur.
On travaille sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ le plus souvent en pratique, occasionnellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$.
On ne confondra pas matrices (ou vecteurs) lignes et matrices (ou vecteurs) colonnes.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Matrices : définition, vocabulaire. Matrice nulle. Matrices carrées, matrices lignes, colonnes. Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identité. | |
Opérations sur les matrices : somme, produit par un scalaire, produit matriciel. Formule du binôme quand les deux matrices commutent. Propriétés de ces opérations. | Produit de matrices diagonales. |
Transposée d’une matrice $M$, notée $M^T$. Transposée d’une somme, d’un produit de matrices. Matrices carrées symétriques. | |
Écriture matricielle d’un système linéaire. Rang d’une matrice. | On adapte la méthode du pivot qui devient un algorithme opérant sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Le rang d’une matrice est alors défini comme le nombre de pivots. On admet que le rang d’une matrice et de sa transposée sont les mêmes. On pourra proposer, dès que le cours sur les espaces vectoriels aura été traité, des caractérisations du rang d’une matrice permettant d’éviter le recours systématique à la méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dans la pratique. |
Matrices carrées inversibles, matrice inverse, inverse d’un produit, inverse de la transposée d’une matrice carrée inversible. Recherche pratique de l’inverse d’une matrice. | L’inversion peut se ramener à la résolution de systèmes linéaires. La description d’un algorithme d’inversion de matrices n’est pas un attendu du programme. |
Déterminant des matrices $2 \times 2$ et caractérisation des matrices $2 \times 2$ inversibles. | Seul le déterminant des matrices $2 \times 2$ est introduit et les formules de Cramer, même dans le cas $2 \times 2$, ne sont pas exigibles. |
Expression matricielle formelle, $X = A^{-1}Y$, de la solution d’un système linéaire $AX = Y$ lorsque la matrice carrée $A$ qui lui est associée est inversible. |
Complexes et matrices
L’ensemble des nombres complexes est défini par \(\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\) avec ...
Compter les paramètres d'un RNN, LSTM et GRU
Le nombre de paramètres d’un réseau est un indicateur clé de sa capacité et de son coût d’entraînement. On note :
...
Convolution 2D complète à la main avec padding same
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
Diagonalisation et calcul de puissance
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.\]
Déterminant d'un produit
En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice \(A\) vérifiant : ...
exo7 1040
Effectuer le produit des matrices : ...
exo7 1041
On considère la matrice suivante : ...
exo7 1042
On considère les trois matrices suivantes : ...
exo7 1043
On considère les deux matrices suivantes : ...
exo7 1044
Trouver les matrices qui commutent avec ...
exo7 1045
Soit ...
exo7 1046
Soit \(A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0& 1 &1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et soit ...
exo7 1047
On considère la matrice ...
exo7 1048
suivantes. ...
exo7 1049
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) ; on suppose que ...
exo7 1050
Soit \(A= \begin{pmatrix} -1 & 1 &1 \\ 1 & -1&1&\\ 1 & 1&-1 \end{pmatrix}\)
...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1052
Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Cal ...
exo7 1053
Déterminer deux éléments \(A\) et \(B\) de ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1060
Soit ...
exo7 1061
Soit \(A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) ...
exo7 1062
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -2&1&-1 \\ 2&0&2 \end{pmatrix}\).
exo7 1065
Discuter suivant les valeurs de \(\lambda \in \Rr\) le rang de la matrice ...
exo7 1066
Calculer l’inverse de \(\begin{pmatrix} 1&2&1\\1&2&-1\\-2&-2&-1 \end{pmatrix}\).
exo7 1067
Déterminer l’ensemble des matrices \(M\in M_{n}({\Rr})\) telles que : ...
exo7 1068
Soit \(M\in M_{n}({\Rr})\) telle que \(M-I_{n}\) soit nilpotente (ie ...
exo7 1069
\(A=\left( a_{i,j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\Rr)\) telle que : ...
exo7 1070
Montrer que si \((A,B)\in M_{n}({\Rr})\) et \(AB=A+B\) alors ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1073
Soit \((A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}\) tel que \(\forall X\in M_{n}(\Cc),\) ...
exo7 1074
Soit \((A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}\) tel que \(AB=I+A+A^{2}.\) Montrer que ...
exo7 1075
Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\)une matrice triangulaire à éléments diagonaux nuls, montrer que : ...
exo7 1076
Calculer les puissances de : ...
exo7 1077
Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\) nilpotente, on définit : ...
exo7 1078
Calculer l’inverse de : ...
exo7 1079
Calculer l’inverse de : ...
exo7 1080
Soient \((x_n)_{n \in \N}\) et \((y_n)_{n \in \N}\) deux suites réelles, vérifian ...
exo7 1099
Soient ...
exo7 1102
Même chose avec ...
exo7 1104
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\Rr^2\) de matrice ...
exo7 1114
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 1115
Calculer, pour tout \(t\in {\Rr}\) le rang des matrices ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1124
On note \(a,\) \(b,\) \(c\) des réels. Calculer ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1131
Soit \((a,x,y)\in\R^3\). Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1132
Soit \((a,b)\in\R^2\) avec \(a\neq b\). Pour ...
exo7 1134
Calculer les déterminants suivants : ...