Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
f) Racines $n$-ièmes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Description des racines $n$-ièmes de l’unité, d’un nombre complexe non nul donné sous forme trigonométrique. | Notation $\mathbb{U}_n$. Représentation géométrique. |
exo7 103
Montrer que si \(x+y+z=a\), \(yz+zx+xy=b\), ...
exo7 1367
On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\). ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 27
Calculer les racines carrées de \(1,\ i,\ 3+4i,\ 8-6i,\) et \(7+24i\).
exo7 28
Trouver les racines carrées de \(3-4i\) et de \(24-10i\).
exo7 29
Calculer les racines carrées de \(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\). En déduire les valeurs de ...
exo7 2928
Soient \(a,b,c \in \C\) distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
exo7 2932
Soient \(u,v,w\) trois complexes unitaires tels que \(u+v+w = 0\). Montrer que ...
exo7 2939
Résoudre :
exo7 2940
Soit \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\). Calculer :
exo7 2941
Soient \(n,p \in \N^*\) et \(\mathbb{U}_n\) le groupe des racines ...
exo7 2942
Soient \(n \in \N^*\), \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et ...
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2944
Simplifier \(x = \prod_{p=2}^n\frac {p^3-1}{p^3+1}\) en utilisant \(1,j,j^2\). ...
exo7 2945
Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...
exo7 2951
A l’aide de formules du binôme, simplifier :
exo7 2953
Soit \(a \in \R\). Résoudre : ...
exo7 2954
Soit \(\theta \in \R\).
exo7 2956
Résoudre en \(x\) : ...
exo7 2982
Déterminer tous les sous-groupes finis de \((\C^*,\times)\).
exo7 2999
Soit \(p\) un entier naturel premier. On appelle \(G\) l’ensemble des ...
exo7 31
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes : ...
exo7 3174
Soient \(A,B,C,D \in {\R[X]}\) tels que : ...
exo7 3203
Chercher le reste de la division euclidienne de \((X+1)^n - X^n - 1\) par ...
exo7 3204
Pour quels \(n\in \N\) le polynôme \((1+X^4)^n - X^n\) est-il divisi ...
exo7 3214
Factoriser \(X^n-1\) sur \(\C\).
exo7 3215
Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...
exo7 3219
Donner une CNS sur \(p,q \in \C\) pour que \(X^8 + X^4 + 1\) divise ...
exo7 3227
Soient \(P,Q \in { K[X]}\).
exo7 3228
Soit \(\theta \in \R\) tel que \(\sin n\theta \ne 0\). Démontrer que ...
exo7 3234
Soient \(z_0,z_1,\dots,z_n \in \C\) tels que : \(\forall\ P \in \C_{n-1}[X]\), on ...
exo7 3238
Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...
exo7 3246
Factoriser \(X^8 + X^4 + 1\) sur \(\R\).
exo7 3253
Soit \(K\) un sous-corps de \(\C\), \(a\in K\) e ...
exo7 3268
Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...
exo7 34
On note \(j = e^{2 \pi \over 3}.\)
exo7 35
Calculer les racines carrées de \(1+i\), \(7+24i\), ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3553
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A^n = I\) et ...
exo7 359
Pour quelles valeurs de \(m\) le polynôme \(P=(X+1)^m -X^m-1\) est-il divisible p ...
exo7 38
Pour \(\alpha\in\Rr\), résoudre dans \(\Cc\) l’équation ...
exo7 39
Pour quelles valeurs de \(z\in\Cc\) a-t-on \(\vert 1+iz\vert=\vert 1-iz\vert.\) ...
exo7 3967
Soit \(f(x) = e^{x\sqrt3}\sin x\). Calculer \(f^{(n)}(x)\) pour ...
exo7 40
Pour tout nombre complexe \(Z\), on pose \(P(Z)=Z^4-1\).
exo7 400
Soit \(P=(X^2-X+1)^2+1\).
exo7 403
Décomposer \(X^{12}-1\) en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\).
exo7 404
Prouver que \(B\) divise \(A\), où :
...
exo7 407
Soit \(\theta \in\mathbb{R}\) ; on suppose \(\sin n\theta \neq 0\). Déterminer le ...
exo7 41
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation suivante : ...
exo7 411
Montrer que le polynôme \(X^3+2\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\). Factor ...