Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Ensembles de nombres usuels
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Entiers naturels, relatifs, nombres décimaux, rationnels, réels, irrationnels. | Les constructions des ensembles de nombres usuels (et en particulier celle de $\mathbb{R}$) sont hors programme. |
Approximations décimales d’un réel. | Valeurs décimales approchées à la précision $10^{-n}$ par défaut et par excès. |
Tout intervalle ouvert non vide rencontre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Droite achevée $\overline{\mathbb{R}}$. |
exo7 461
Montrer que \(\frac{\ln 3}{\ln 2}\) est irrationnel.
exo7 462
Soit \(a\in \Rr\), montrer : ...
exo7 463
Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques : \[\left\{ \frac{a}{2^{k}},(a,k)\in \Zz\times \Nn\right\}\] est den ...
exo7 464
Le maximum de deux nombres \(x,y\) (c’est-à-dire le plus grand des deux) est noté ...
exo7 468
Les ensembles suivants ont-ils une borne supérieure, un plus grand élément, une borne inférieure, un plus petit élément, dans ...
exo7 4718
Soit \(a \in \R\setminus \Q\) et ...
exo7 4719
Montrer que l’ensemble \(A = \{ \sqrt m - \sqrt n \text{ tq } m,n \in \N \}\) est dense dans ...
exo7 4726
Soit \((x_n)\) une suite réelle bornée et ...
exo7 4728
Déterminer toutes les fonctions \(f : \R \to \R\) continues, périodiques de pé ...
exo7 489
Deux entiers naturels distincts peuvent-ils vérifier la relation \(a^b=b^a\) ?
exo7 497
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) telle que ...
exo7 5115
\(k\) est un entier impair. Montrer par récurrence que, pour \(n\geq1\), la somme ...
exo7 5116
Pour \(n\geq1\), on pose \(H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\). Montrer que, pour ...
exo7 5153
Tout entier naturel non nul \(n\) s’écrit de manière unique sous la forme
...
exo7 5209
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.
exo7 5214
Soit \(u_n\) le chiffre des unités de \(C_n^k\), ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5219
Montrer que \(\{r^3,\;r\in\Qq\}\) est dense dans \(\Rr\).
exo7 5243
Soit \((u_n)=\left(\frac{p_n}{q_n}\right)\) avec \(p_n\in\Zz\) et ...
exo7 525
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que ...
exo7 5291
Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de 1, est un carré parfait.
exo7 5295
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...
exo7 5304
Résoudre dans \(\Nn^2\) l’équation \(3x^3+xy+4y^3=349\).
exo7 5305
Résoudre dans \((\Nn^*)^2\) l’équation d’inconnue \((x,y)\) : ...
exo7 532
Soit \(\alpha\) un nombre irrationnel positif et \((p_n)\) et ...
exo7 5387
Montrer que la fonction caractéristique de \(\Qq\) est discontinue en chacun de ses points.
exo7 5403
Trouver un exemple de fonction pèriodique dont le groupe des pèriodes est dense dans \(\Rr\) mais pas ...
exo7 570
On considère les deux suites : \[u_n =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\ ;\ n\in\N,\] ...
exo7 573
Soit \(x\) un réel.
exo7 5843
Montrer qu’entre deux réels distincts, il existe un rationnel (ou encore montrer que \(\Qq\) est dense dans ...
exo7 5982
Soit \(x\) un réel.
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 6141
Montrer que \(\Qq\) n’est pas un \(G_\delta\) c’est-à-dire n’est pas intersection ...
exo7 6444
Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ?
exo7 6502
Les ensembles suivants sont-ils des anneaux vis-à-vis des opérations usuelles d’addition et de multiplication? Sont-ils des corps ? ...
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7338
Écrire en base 10 le nombre dont l’écriture hexadécimale est \(DA582\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
Fractions
Calculer les expressions suivantes. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
...
Irrationalité de $\sqrt{2}$
Montrer que \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel.
Non inclusion
Montrer que \(\Z\not \subset \N\), \(\mathbb{D}\not \subset \Z\) et ...