Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
i) Suites particulières
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. | Pour une relation de récurrence $u_{n+1} = au_n + b$ où $a \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$ et $b \in \mathbb{C}$, recherche d’une solution constante, détermination des solutions. |
Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants. | |
Présentation de l’étude des suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ sur quelques exemples simples. Représentation géométrique. Si $(u_n)$ converge vers un élément $\ell$ en lequel $f$ est continue, alors $f(\ell) = \ell$. | Cette étude est l’occasion d’introduire la notion d’intervalle stable par une fonction. Pour l’étude de la monotonie de $(u_n)$, on souligne l’intérêt, d’une part, de l’étude du signe de $f(x) - x$, et, d’autre part, de l’utilisation de la croissance éventuelle de $f$. |
exo7 4709
Soient \(a,b \in \R^*\). On définit la suite \((u_n)\) par : ...
exo7 4711
Étudier la convergence des suites \((x_n)\), \((y_n)\) dé ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 4716
Soit \(f : {[a,b]} \to {[a,b]}\) continue et la suite \((u_n)\) défi ...
exo7 4887
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4888
Soient \(A_0,A_1,A_2\) trois points donnés. On considère la suite \((A_k)\) de po ...
exo7 5142
Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique.
exo7 515
Étant donné \(k\in\mathbb{R}_+\), que peut-on dire d’une suite \((u_n)\) qui véri ...
exo7 5223
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 5228
Déterminer \(u_n\) en fonction de \(n\) quand la suite ...
exo7 5229
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) les suites définies par la donnée de ...
exo7 5230
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) les sui ...
exo7 5232
Soit \(u\) une suite complexe et \(v\) la suite définie par ...
exo7 5239
Déterminer \(u_n\) en fonction de \(n\) et de ses premiers termes dans chacun des ...
exo7 5240
On pose \(u_1=1\) et, \(\forall n\in\Nn^*,\;u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\). Montrer qu ...
exo7 5256
Soit \(u\) la suite définie par \(u_0=\frac{\pi}{2}\) et, ...
exo7 5277
On pose \(u_0=1\), \(v_0=0\), puis, pour ...
exo7 5295
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^{n+1}\) divise ...
exo7 5302
Soit \((u_n)_{n\in\Nn}\) la suite définie par \(u_0=0\), ...
exo7 537
Etudier la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 538
Étudier les suites :
exo7 539
On considère la fonction \(f : \R \longrightarrow \R\) définie par ...
exo7 540
Soit \(a\in \mathbb{R}\). On considère la suite \((u_n)\) définie par ...
exo7 5405
Trouver les fonctions bijectives de \([0,1]\) sur lui-même vérifiant ...
exo7 541
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}=1+\frac{u_n^3}{10}\) dans les cas suivants :
exo7 542
Étudier la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 5423
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) vérifia ...
exo7 5425
Etudier la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :
...
exo7 543
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= e^{-u_n}\) et \(u_0=0\).
exo7 5435
Soit \(u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]\). Pour \(n\in\Nn\), on pose ...
exo7 544
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \cos u_n\) et \(u_0=-8\).
exo7 545
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}\) et ...
exo7 546
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\frac{-u_n^2-u_n+24}{6}\) pou ...
exo7 547
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 548
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 549
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\ln(e-1+u_n)\).
exo7 550
Discuter suivant les valeurs de \(u_0\) la nature de la suite ...
exo7 551
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs ; on définit une suite ...
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 553
Soit \(f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\). On considère \(a\in [0,1]\) et la suite ...
exo7 554
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= (1-u_n)^2\) (discuter suivant les valeurs de ...
exo7 555
Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...
exo7 556
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 557
Étudier la suite définie par récurrence par \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=\cos u_n\), où ...
exo7 558
Étudier dans \(\mathbb{C}\) une suite \((u_n)\) telle que ...
exo7 559
On donne \(A\geq 0\), \(B\geq 0\), \(u_0\geq 0\) ...
exo7 560
On considère la suite réelle définie par : \[x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.\]
exo7 561
En utilisant les méthodes de l’exercice précédent, étudier les suites définies par : ...
exo7 562
Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence ...
exo7 568
Déterminer les limites lorsque \(n\) tend vers l’infini des suites ci-dessous ; pour chacune, essayer de préciser ...