Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Fonctions polynomiales et racines
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité. | Lien avec l’introduction aux équations algébriques de la section « Nombres complexes ». Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale. |
Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Multiplicité d’une racine. | Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée. |
Polynôme scindé. Relations entre coefficients et racines (formules de Viète). | Les formules concernant la somme et le produit doivent être connues des étudiants ; les autres doivent être retrouvées rapidement. |
Divisibilité et racines
Soit \(n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}\). Montrer que ...
Déterminant de Vandermonde
On cherche à calculer le déterminant suivant, dit de Vandermonde : ...
Développement en série et étude de suites définies par des équations polynomiales
On supposera connues les relations suivantes : ...
exo7 103
Montrer que si \(x+y+z=a\), \(yz+zx+xy=b\), ...
exo7 1129
Calculer le déterminant ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 1236
Soit \(P(X)\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(3\) ayant trois rac ...
exo7 1264
Montrer que, pour tout \(x\) réel vérifiant \(\vert x \vert \leq 1\) : ...
exo7 1574
Soit \(A\in M_3 (\R )\) la matrice ...
exo7 1583
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension finie et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1663
Montrer que si le polynôme minimal d’un endomorphisme \(f\) d’un \(K\)-espace vec ...
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 2263
Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...
exo7 2264
Pour \(n,m\ge 2\), déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme ...
exo7 2268
Soient \[f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1\] où ...
exo7 2269
Soient \(f,g\in \Qq[x]\). Supposons que \(f\) soit ...
exo7 2271
Trouver le \(\pgcd(x^n-1,\ x^m-1)\) dans \(\Zz[x]\).
exo7 2276
Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...
exo7 2277
Soit \(P\in \Zz[x]\).
exo7 2278
Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 2471
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps ...
exo7 2568
Soit \[A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\] Démontrer que ...
exo7 2587
Soit \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)\), montrer que ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2931
Trouver \(a,b,c \in \mathbb{U}\) tels que ...
exo7 2946
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 - (5-14i)z^2 -2(5i+12) = 0\).
exo7 2947
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 + 6z^3 + 9z^2 + 100 = 0\).
exo7 3149
Déterminer \(x \in \Q\) sachant que :
exo7 3162
Soit \(p\) un nombre premier impair.
exo7 3164
Soit \(a,b \in K,\ a \ne b\). On pose \(P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}\). Dé ...
exo7 3185
Soit \(P \in {\R[X]}\). Existe-t-il \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3186
Montrer que pour tout entier \(n \in \N\) il existe un unique polynôme ...
exo7 3189
Soient \(x_1,\dots,x_n\in\C\) distincts et \(y_1,\dots,y_n\in\C\). Trouver ...
exo7 3190
Soit \(S\subset \N\) fini et \(P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]\).
exo7 3191
Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1\) est une r ...
exo7 3199
Soient \(P \in { K[X]}\), \(a,b\in K\) distincts, et ...
exo7 32
Trouver les racines complexes de l’équation suivante : \[x^4-30x^2+289=0.\]
exo7 3200
Déterminer les polynômes \(P \in \Q_3[X]\) divisibles par ...
exo7 3203
Chercher le reste de la division euclidienne de \((X+1)^n - X^n - 1\) par ...
exo7 3204
Pour quels \(n\in \N\) le polynôme \((1+X^4)^n - X^n\) est-il divisi ...
exo7 3205
Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).
exo7 3206
Trouver les restes des divisions euclidiennes :
exo7 3207
Trouver \(\lambda, \mu \in \C\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...
exo7 3214
Factoriser \(X^n-1\) sur \(\C\).
exo7 3215
Montrer que \(\prod_{k=0}^{n-1} (\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1)=2(1-\cos (n\theta))\) avec ...
exo7 3216
Montrer que si \(p \le n\), alors \(X^{2^p} + X^{2^{p-1}} + 1\) divise ...