Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Calcul de primitives
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Primitives d’une fonction définie sur un intervalle à valeurs complexes. Lien entre intégrales et primitives. | Description de l’ensemble des primitives d’une fonction sur un intervalle connaissant l’une d’entre elles. On rappelle sans démonstration que, pour une fonction continue $f$, $x \mapsto \displaystyle\int_{x_0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ a pour dérivée $f$. On pourra noter $\displaystyle\int^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ une primitive générique de $f$. |
Calcul des primitives, application au calcul d’intégrales. | Primitives de $x \mapsto \mathrm{e}^{\lambda x}$ pour $\lambda \in \mathbb{C}$, application aux primitives de $x \mapsto \mathrm{e}^{ax}\cos(bx)$ et $x \mapsto \mathrm{e}^{ax}\sin(bx)$. |
Primitives des fonctions exponentielle, logarithme, puissances, trigonométriques et hyperboliques, et des fonctions $x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}$, $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$. | Les étudiants doivent savoir calculer les primitives de fonctions du type $x \mapsto \dfrac{1}{ax^2 + bx + c}$ et reconnaître les dérivées de fonctions composées. |
Intégration par parties, changement de variable. | Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité. |
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\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4272
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4276
Convergence et calcul de \(\int_{t=0}^{+\infty}\frac{t\,d t}{\sh t}\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme ...
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4280
Calculer \(I_n = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{(t+1)(t+2)\dots(t+n)}\).
exo7 4286
Soit \(\gamma\) la constante d’Euler. Montrer que …
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Calculer ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4339
Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).
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Calculer \(f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t\).
exo7 4361
Domaine de définition de \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x\). Calculer ...
exo7 4369
Étudier la limite en \(0+\) de ...
exo7 4377
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t\). Étudier le domaine de définition de ...
exo7 4386
Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).
En calculant ...
exo7 4407
Soit \(f : \R \to {\C^*}\) telle que : \(\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)\). ...
exo7 5076
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
exo7 5097
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\Rr\) à valeurs dans ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
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Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5451
Pour \(x\) réel, on pose \(f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt\).
exo7 5461
Trouver toutes les applications continues sur \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
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Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5468
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés :
...
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5717
Deux calculs de \(I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx\).
1) (** I) En utilisant ...
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Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6737
Si \(\gamma\) est l’arc de courbe \(\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)\) joignant les ...
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Calculer les primitives suivantes par intégration par parties.
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Calculer les primitives suivantes par changement de variable.
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Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
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Calculer les intégrales suivantes :
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Résoudre sur \(]0;\pi[\) l’équation différentielle ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 811
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 812
Considérons l’intégrale \[I=\int_0^{\ln 2}\sqrt{e^x-1}\, dx\] Effectuer le changement de variables ...
exo7 814
Calculer les primitives suivantes : \[\int \frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt[3]{2+x}}dx, \quad (t=\sqrt[6]{2+x}) \ ;\] ...
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Calculer les primitives suivantes : ...
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Calculer par récurrence : \[I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{du}{\cos ^{n}u}.\]
exo7 821
Calculer par récurrence : \[J_{n}=\int_{1}^{e}\log (u)^{n}du.\]