Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Structure de groupe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe. | Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif. Exemples usuels : groupes additifs $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, groupes multiplicatifs $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{Q}_+^*$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{U}$, $\mathbb{U}_n$. |
Groupe des permutations d’un ensemble. Groupe produit. Sous-groupe : définition, caractérisation. Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. | Notation $S_X$. |
Image et noyau d’un morphisme. Condition d’injectivité. Isomorphisme. | Notations $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$. |
exo7 7297
Soit \(F\) un morphisme de groupes de \((\Z,+)\) dans lui-même. Montrer qu’il suf ...
exo7 7298
Soit \(E=\{a,b\}\) un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupes sur cet e ...
exo7 7299
Soit \(E = \Q^2 \setminus \{(0,0)\}\), et \(\star\) la loi de composition interne ...
exo7 7301
Soit \(G\) un groupe tel que \(\forall x\in G, x\star x=e_G\).
Montrer que ...
exo7 7302
Ecrire les tables d’opération dans l’anneau \(\Z/6\Z\).
exo7 7304
Déterminer l’ordre de \(\overline{2}\) dans \((\Z/10\Z,+)\).
exo7 7308
Voici la table d’un groupe fini. Déterminer l’ordre de \(a\).
...
exo7 7309
Le but de cet exercice est de déterminer tous les morphismes d’anneaux de \(\Z/10\Z\) dans un ...
exo7 7324
Donner la définition d’un groupe.
exo7 7326
On note \(\mathbb{F}_{11}\) le corps fini \(\Z/11\Z\). Considérons le groupe ...
exo7 7343
La compléter.
exo7 7344
Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...
exo7 7349
Soit \((E,\star)\) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative avec un élément neutre, noté ...
exo7 7350
Considérons le groupe \((\Zz , +)\). Le sous-ensemble \(4\Zz\) est par définition ...
exo7 7352
Soit \(E=\{a,b\}\) un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupe sur cet en ...
exo7 7353
Soit \(G\) un ensemble muni d’une relation d’ordre \(\leq\) et d’une structure de ...
exo7 7354
Montrer que tout groupe cyclique d’ordre \(n\) est isomorphe à \(\Z/n\Z\).
exo7 7355
Montrer que les deux permutations \(\tau=(1,2)\) et \(c=(1,2,3)\) engendrent le g ...
exo7 7356
Donner la liste des permutations du groupe symétrique \(\mathcal{S}_4\).
exo7 7360
Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...
exo7 7361
Montrer que \(1\) est dans le sous-groupe de \((\Z,+)\) engendré par ...
exo7 7362
Le sous-ensemble \(28\Z+18\Z\) de \(\Z\) est-il un sous-groupe de ...
exo7 7363
Quels sont les ordres possibles des éléments d’un groupe d’ordre \(6\) ?
exo7 7364
Dans le groupe \(\mathcal{S}_7\) des permutations de l’ensemble fini ...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7367
Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?
exo7 7369
Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre et ...
exo7 7374
Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...
exo7 7375
Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?
exo7 7376
Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?
exo7 7384
Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...
exo7 7386
Quels sont les ordres possibles des éléments de \(\left((F_{19})^\times ,\times\right)\) ?
exo7 7388
Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d’ordre \(4\).
exo7 7391
Donner la définition d’un groupe.
exo7 7393
Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...
exo7 7394
Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{41} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...
exo7 7396
Enoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7402
Les groupes \(\Z/9\Z\) et \(\Z/3\Z\times \Z/3\Z\) sont-ils isomorphes ?
exo7 7406
Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...
exo7 7513
Soit \(P\) un plan euclidien orienté.
exo7 7719
Soit \(G\) un groupe fini. Soit \(p\) le plus petit facteur premier de l’ordre de ...
exo7 7721
Soit \(G\) un groupe et \(f~:G\to A\) un morphisme de groupes de ...
exo7 7730
Le groupe symétrique \(\mathcal{S}_5\) a-t-il un élément d’ordre \(6\) ?
exo7 7764
Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^3q\) (avec \(p\) premier et ...
exo7 7770
Soit \(G\) le sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) engendré par ...
exo7 7775
Soit \(G\) un groupe, \(a\) et \(b\) deux élémen ...
exo7 7873
Soint \(n\) un entier naturel supérieur à \(3\).
exo7 7874
Le groupe \(\mathcal{S}_n\) est-il simple ?
exo7 7890
Montrer qu’en dimension \(2\) le groupe symplectique d’une forme alternée non dégénérée est isomorphe au groupe sp ...
exo7 7893
Rappeler un isomorphisme de groupes entre \(SO(2)\) et \(S^1\).