Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Séries à termes positifs ou nuls
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Convention de calcul et relation d’ordre dans $[0,+\infty]$. | On note $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n=+\infty$ si la série $\sum u_n$ d’éléments de $\mathbb{R}^+$ diverge. |
Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée. Si $0\leqslant u_n\leqslant v_n$ pour tout $n$, la convergence de $\sum v_n$ implique celle de $\sum u_n$. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ sont positives et si $u_n\sim v_n$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature. | |
Si $f$ est monotone, encadrement des sommes partielles de $\sum f(n)$ à l’aide de la méthode des rectangles. Séries de Riemann. | Application à l’étude de sommes partielles. |
exo7 5702
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}\).
exo7 5703
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général
1) (**) ...
exo7 5704
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...
exo7 5705
Déterminer un équivalent simple de \(\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}\) quand ...
exo7 5706
Nature de la série de terme général \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\), ...
exo7 5707
Développement limité à l’ordre \(4\) de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\) q ...
exo7 5708
Partie principale quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
exo7 5709
Soit \(p\in\Nn^*\), calculer ...
exo7 5710
Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}\).
exo7 5711
Soient \((u_n)_{n\geqslant1}\) une suite réelle. Pour \(n\geqslant 1\), on pose ...
exo7 5712
Convergence et somme de la série de terme général \(u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\), ...
exo7 5745
Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :
exo7 5754
Pour \(n\) entier naturel, on pose ...
exo7 840
Calculer : ...
exo7 841
Calculer : ...
Nature de séries
Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...
Nature de séries
Étudier la convergence des séries \(\sum\limits_{n \geq n_0} u_n\) suivantes et préciser la somme de la série quan ...
QCM — Séries à termes positifs
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant.
Rayon et domaine de convergence d'une série entière
On considère la série entière de la variable réelle \(x\) : ...
Règle de Raabe-Duhamel
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positi ...
Série télescopique et décomposition en éléments simples
On considère la série \[\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.\]
Séries : vrai ou faux
Vrai ou Faux ? Justifier.
Séries : vrai ou faux
Vrai ou Faux ? Justifier.
Séries convergentes ou divergentes
Dire la série \(\sum u_n\) est convergente ou divergente pour les cas suivants :
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Séries à termes réels positifs
Étudier la convergence des séries \(\sum u_n\) suivantes:
Variations autour de la série harmonique
Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...
Vrai ou faux
Pour chacune des assertions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Une justification, le cas échéant avec un contre exemple, est attendue. ...
Vrai ou faux ?
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.
Étude d'une suite récurrente et de son équivalent
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(u_1\) un réel strictement positif. On ...
Étude d'une série numérique
Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...
Étude d'une série à termes positifs
Soit la suite \((u_n)\) définie par : ...
Étude de la nature d'une série
Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...
Étude de séries numériques
Pour chacune des séries ci-dessous, préciser si elle est absolument convergente, semi-convergente, grossièrement divergente ou divergente sans l’êt ...
Étude de séries numériques (1)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries numériques (2)
Dans chacun des cas, dire si la série de terme général \(u_n\) est absolument convergente, semi-convergente, diver ...
Étude de séries à termes positifs
Pour chacune des séries suivantes, déterminer si elle converge ou diverge.
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...