Programme de mathématiques PT
d) Propriétés métriques d’une courbe plane
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Longueur d’une courbe paramétrée régulière. | Définition par la formule intégrale. |
Abscisse curviligne, paramétrage par une abscisse curviligne pour une courbe régulière. Repère de Frenet $(M, \overrightarrow{T}, \overrightarrow{N})$, normale. | |
Courbure en un point régulier, formules de Frenet. | La courbure est définie par $\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{T}}{\mathrm{d}s} = \gamma \overrightarrow{N}$. Interprétation géométrique du signe de la courbure. La formule donnant la courbure à partir du déterminant de la vitesse et de l’accélération est hors programme. |
Expression $\overrightarrow{T}(t) = \cos(\alpha(t))\vec{\imath} + \sin(\alpha(t))\vec{\jmath}$. | Les problèmes liés à la régularité de $\alpha$ ne sont pas un attendu du programme. |
Expression de la courbure $\gamma = \dfrac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}$. | On interprète géométriquement la valeur de $\lvert\gamma\rvert$ sans démonstration formelle. |
Point birégulier d’une courbe de classe $\mathscr{C}^2$. | |
Rayon de courbure en un point birégulier. Centre de courbure. Cercle de courbure. | On interprète géométriquement le rayon et le cercle de courbure sans démonstration formelle. |
Développée d’une courbe birégulière : ensemble des centres de courbure. |
exo7 2059
Déterminer la longueur de la courbe \(y = \sqrt{x} (1-\dfrac x3)\) pour ...
exo7 2060
Déterminer une abscisse curviligne, la longueur et la développée de l’astroïde.
exo7 2061
Calculer le rayon de courbure de \(\rho (\theta) = \cos (\dfrac{\theta}3)\) en fonction de ...
exo7 2062
Soit \(\mathcal{P}\) la parabole \(y^2 = x\). Déterminer une équation paramétrée ...
exo7 2063
Soit \(\Gamma\) la courbe \(\rho (\theta) = \sqrt{\sin (2 \theta)}\).
exo7 2064
Soit \(M (s)\) un arc \(C^2\) birégulier paramétré par une abscisse curviligne. S ...
exo7 2080
Calculer l’aire d’une astroïde.
exo7 2691
Un cercle de rayon \(R\) roule sans glisser sur l’axe \({\rm O}x\) dans le sens d ...
exo7 2708
Trouver en tout point l’équation du plan osculateur à la courbe ...
exo7 4393
Soit \(\cal P\) le plan rapporté au repère \((O,\vec i,\vec j)\). Calculer l’aire ...
exo7 4994
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe du plan. A un point \(M\) un point de ...
exo7 4999
Trouver les arcs biréguliers du plan dont le cercle osculateur est en tout point tangent à une droite fixe.
exo7 5000
Déterminer les courbes planes telles que l’image du cercle osculateur en un point \(M\) par l’homothétie de centre ...
exo7 5002
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction continue. On étudie les courbes planes paramétrées par une abscisse curviligne, ...
exo7 5003
Chercher les courbes planes vérifiant l’équation intrinsèque :
exo7 5004
Trouver les courbes planes \(\mathcal{C}\) telles que le centre de courbure reste sur un cercle ...
exo7 5005
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe plane et \(s\) une abscisse curviligne sur ...
exo7 5006
Trouver les courbes \(\Gamma\) du plan ayant la propriété suivante : Soit ...
exo7 5024
Déterminer la longueur d’un arc \(\mathop{M_0M_t}\limits^\frown\) ou ...
exo7 5025
Soit la courbe paramétrée par : \(x = 2t^3+3t^2\),\(y = 3t^2+6t\). Calculer la lo ...
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5028
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue concave, \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, ...
exo7 5029
Déterminer les coordonnées du centre de courbure au point \(M\) pour les courbes suivantes :
exo7 5030
Soit la courbe \(\Gamma\) définie par : \(xy = a^2\), ...
exo7 5031
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe plane paramétrée par une abscisse curviligne ...
exo7 5032
Soit \(\mathcal{C}\) la courbe d’équations paramétriques ...
exo7 5033
On considère la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation polaire ...
exo7 5034
Déterminer le rayon de courbure de la courbe \(\mathcal{C}\) d’équation : ...
exo7 5036
Déterminer l’ensemble des centres de courbure en \(O\) aux courbes intégrales de l’équation différentielle ...
exo7 5037
Soit \(\mathcal{C} : t \mapsto M_t\) une courbe plane paramétrée sans point stationnaire. Les courbes parallèles à ...
exo7 5038
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe paramétrée, \((M,\vec t,\vec n)\) le repère de Fr ...
exo7 5039
Soit \(\mathcal{C}\) le cercle d’équation \(x^2+y^2-2Rx = 0\) et ...
exo7 5040
Construire la courbe \(\mathcal{C}\) d’équations paramétriques : \(x=3t-t^3\), ...
exo7 5041
Déterminer la développante de la chainette \(\mathcal{C}\) d’équation ...
exo7 5043
Soit \(\mathcal{C}\) une courbe de l’espace, et \(\Gamma\) la courbe décrite par ...
exo7 5044
Soit \(s \mapsto M_s\) une courbe de l’espace de classe \(\mathcal{C}^3\) paramét ...
exo7 5045
Soit \(s \mapsto M_s\) une courbe de l’espace de classe \(\mathcal{C}^3\) paramét ...
exo7 5523
(**) L’astroïde.
exo7 5532
Soit la courbe d’équation polaire \(r=a(1+\cos\theta)\), \(a>0\).
exo7 5534
Développée de la spirale logarithmique d’équation polaire \(r=ae^{\theta}\) ( ...
exo7 5536
Déterminer et construire la développée
exo7 5537
Trouver le point de la courbe d’équation \(y=\ln x\) en lequel la valeur absolue du rayon de courbure est minimum. ...
exo7 5538
Soit \((\Gamma)\) la courbe d’équation \(y=\ln(\cos x)\), pour ...
exo7 5539
Pour \(\lambda\in\Rr\), on note \((\Gamma_\lambda)\) la courbe d’équation ...
exo7 6398
Soient \(\xi(t)\) et \(\eta(t)\) deux courbes paramétrées de ...
exo7 6399
Pour la courbe \(r = (a \cos t, a\sin t, bt)\), \(a>0\), ...
exo7 6400
Montrer qu’une courbe \(s \mapsto r (s)\) est plane ssi ...
exo7 6402
Montrer que \(3\) points \(x, y\) et \(z\) sont ...
exo7 806
Représenter la courbe définie par son équation polaire \(\rho=a\sin^3\frac{\theta}{3}\). Calculer sa longueur ...
exo7 808
On appelle cycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(R\), lié à ce cercle, quand cel ...