Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
b) Résolution de petits systèmes linéaires par la méthode du pivot
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Système linéaire à coefficients réels de deux ou trois équations à deux ou trois inconnues. | Interprétation géométrique : intersection de droites dans $\mathbb{R}^2$, de plans dans $\mathbb{R}^3$. |
Algorithme du pivot et mise en évidence des opérations élémentaires. | Notations $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow\lambda L_i$ ($\lambda\neq 0$), $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$. |
Convolution 2D à la main — mode valid
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
Des polynômes
Existe-t-il un polynôme \(P\in \R_3[X]\) vérifiant \(P(1)=P(-1)=P'(1)=1\) ? ...
Décomposition en éléments simples
Montrer qu’il existe des réels \(a, b\) et \(c\) tels que, pour tout ...
exo7 1163
Résoudre les systèmes suivants ...
exo7 1171
Mettre sous forme matricielle et résoudre les systèmes suivants.
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).
exo7 1958
Dans l’exercice suivant, on considère des couples de deux droites \(D_1\) et ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1961
On considère dans \(P\) trois points \(A\), ...
exo7 1975
Soient \((D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}\) trois droites du plan affine. Montrer qu’elles s ...
exo7 2019
Donner une condition sur \(m\) pour que les trois plans suivants se coupent sur une même droite. ...
exo7 2034
On considère le point \(A (-2,4,1)\), les vecteurs ...
exo7 2038
Soit \(f\) la transformation de l’espace définie analytiquement par ...
exo7 2462
Systèmes linéaires.
exo7 2478
Résoudre ...
exo7 2693
Un train qui ralentit avec une décélération constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parco ...
exo7 2732
En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : ...
exo7 2734
Résoudre le système : ...
exo7 2737
Un cycliste s’entraîne chaque dimanche en faisant l’aller-retour d’Issy à Labat. Le trajet Issy-Labat n’est pas horizontal : il y a des montées, de ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2769
Résoudre le système suivant de \(5\) équations à \(6\) inconnues : ...
exo7 332
Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l’espace d’équations ...
exo7 334
Un coq coûte \(5\) pièces d’argent, une poule \(3\) pièces, et un lot de quatre p ...
exo7 3417
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3827
Calculer le minimum sur \(\R^2\) de ...
exo7 3892
Soient \(a,b \in \R\) non tous deux nuls.
exo7 3898
Soient \(a,b\in \R\). Étudier l’existence de solutions pour le système : ...
exo7 4159
Problème d’ajustement linéaire : Etant donné \(n\) couples de réels ...
exo7 4860
On considère deux plans non parallèles de \({\cal E}_3\) ayant pour équation dans un repère ...
exo7 4862
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 490
Résoudre l’équation \(\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4\), \(x\) étant un réel posi ...
exo7 4963
Dans un rond on donne les droites \(D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}\) ...
exo7 5168
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) engendré par ...
exo7 5217
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=1\). ...
exo7 5471
Condition nécessaire et suffisante sur \(a\), \(b\), ...
exo7 5505
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer un repère de la droite \((D)\) ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5826
Déterminer la quadrique contenant le point \(A(2,3,2)\) et les deux paraboles ...
exo7 7026
Résoudre les systèmes suivants, en précisant auparavant le domaine de résolution.
...
exo7 7027
La somme de deux nombres \(x\) et \(y\) est ...
exo7 7028
Trouver les dimension d’un triangle rectangle d’hypoténuse 13 cm et d’aire 30 cm\({}^2\).
exo7 7029
Dans une station de métro, les usagers ont à leur disposition un tapis roulant de 300m de long. Un piéton marchant à vitesse constante fait l’aller ...
exo7 7031
Résoudre dans \(\R_+^*\) le système suivant: ...
exo7 7034
Résoudre le système suivant: \[\begin{cases} 8^x = 10y\\ 2^x = 5y \end{cases}\]
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 762
Soit \((a,b)\in\R^2\), résoudre le système ...