Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
d) Méthodes de calculs
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intégration par parties. | Au cours d’une épreuve, sauf dans les cas simples, la nécessité d’une intégration par parties sera indiquée. |
Changement de variable. | Au cours d’une épreuve, sauf dans les cas simples, le changement de variable sera donné. |
Calcul d'intégrales par reconnaissance de dérivées
Calculer \(I_1=\displaystyle\int_0^{\pi/3}\bigl(1-\cos(3x)\bigr)\,dx\).
Changement de variable, intégration par parties et intégrale impropre
On rappelle que \(\sin^3 t = \sin t\,(1 - \cos^2 t)\).
Décomposition en éléments simples et intégration
On considère la fonction \(f(x) = \frac{1}{x(x + 1)}\).
exo7 1276
Soit \(f :[0,1]\rightarrow { \Rr}\) une fonction continue. Montrer que ...
exo7 1492
Calculer : \[\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx.\]
exo7 2095
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2321
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2322
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2323
Soit \(f\) une fonction continue dans \([0,\pi]\). Montrer, en utilisant un chang ...
exo7 2326
Calculer les intégrales suivantes : ...
exo7 2327
Calculer les intégrales ...
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 4073
Trouver les applications \(g : {\R^+} \to {\R^+}\) continues vérifiant pour tout ...
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4236
Calculer \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac t{1+\sin t}\,d t\).
exo7 4237
Calculer \(\int_{t=0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t)\,d t\). On remarquera que ...
exo7 4238
On note \(I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), ...
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4244
Étudiez la limite de la suite définie par \(u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp\)
exo7 4267
\(\int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}\)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4294
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R^+\) une fonction continue telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4297
Soit \(f:\R \to \R\) continue par morceaux telle que ...
exo7 4298
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) continue telle que ...
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4304
Nature et calcul de \(\int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x\) ?
exo7 4307
Soient \(I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}\) et ...
exo7 4319
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4320
Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4324
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4345
On donne : \(\int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2\). Existence et valeur de ...
exo7 4351
Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes :
exo7 4374
Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...
exo7 4379
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4386
Soit \(I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x\).
En calculant ...
exo7 4541
Étudier la convergence de la suite de fonctions définies par : ...
exo7 4585
Calculer \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp\)
exo7 5026
Calculer la longueur totale des courbes suivantes :
exo7 5087
Existence et calcul de \(\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt\).
exo7 5470
Calculer les intégrales suivantes (\(a\), \(b\) réels donnés, ...
exo7 5716
Existence et calcul de :
| 1) (** I) ... |
exo7 5725
Soit \(f\) de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) à valeu ...
exo7 5738
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5924
Montrer que si \(f~:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) est Riemann-intégrable, alors ...
exo7 5932
Cet exercice fournit une autre méthode de calcul du volume de la boule unité \(\mathcal{B}_{n}\) de ...