Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 4 – Nombres complexes
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Ce chapitre est entièrement nouveau pour la majorité des étudiants.
L’ensemble des nombres complexes est introduit pour munir le plan d’opérations compatibles avec celles déjà pratiquées sur la droite réelle. Cela permet de trouver, sans exhaustivité, des solutions à des équations algébriques. Ces équations seront essentiellement à coefficients réels, de petit degré et utiles par exemple pour alléger l’étude des suites réelles récurrentes linéaires à coefficients constants et des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
- a) Écriture algébrique des nombres complexes 98
- b) Formes trigonométriques et exponentielles des nombres complexes 119
- c) Application aux équations du second degré. 48
exo7 4406
Soit \(z=x+iy\in\C\) avec \(x,y\in\R\) et ...
exo7 4408
Montrer qu’il existe une infinité de complexes \(z\) tels que \(e^z = z\) (on cal ...
exo7 4409
Résoudre dans \(\C\) :
exo7 4410
Calculer \(\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}\) et ...
exo7 4411
Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...
exo7 45
Trouver les racines quatrièmes de \(81\) et de \(-81\).
exo7 46
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et tout nombre \(z\in\mathbb{C}\), on ...
exo7 4606
Pour \(a,b\in\R\) avec \(b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})\), vérifier l’identit ...
exo7 49
Résoudre dans \(\Cc\) :
exo7 5
Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme \(a+ib,\) \(a\in\Rr\) ...
exo7 50
Calculer les racines \(n\)-ièmes de \(-i\) et de ...
exo7 5069
Montrer que \(\sum_{}^{}\cos\left(\pm a_1\pm a_2\pm...\pm a_n\right)=2^n\cos a_1\cos a_2...\cos a_n\) (la somme co ...
exo7 5072
Soit \(a\) un réel distinct de \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) et ...
exo7 5075
On veut calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\sin\frac{2\pi}{5}\). Pour cela, on ...
exo7 5077
Calculer \(I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^4x\sin^6x\;dx\) et ...
exo7 5080
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5081
Résoudre le système ...
exo7 5083
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).
exo7 5107
Pour \(z\neq i\), on pose \(f(z)=\frac{z+i}{z-i}\). Montrer que ...
exo7 5119
Calculer de deux façons les racines carrées de \(1+i\) et en déduire les valeurs exactes de ...
exo7 5120
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5121
On pose \(z=e^{2i\pi/5}\) puis \(a=z+z^4\) et ...
exo7 5122
Soit \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) donné. Résoudre dans ...
exo7 5123
Soit \((ABC)\) un triangle dont les longueurs des côtés \(BC\), ...
exo7 5124
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du pla ...
exo7 5125
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0\).
exo7 5127
Déterminer les complexes \(z\) tels que \(z\), ...
exo7 5128
On note \(U\) l’ensemble des nombres complexes de module \(1\). Montrer que :
...exo7 5129
Forme trigonométrique de \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) et de ...
exo7 5130
Calculer \((1+i\sqrt{3})^9\).
exo7 5131
Déterminer les racines quatrièmes de \(i\) et les racines sixièmes de ...
exo7 5132
Montrer que les solutions de l’équation \(1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0\) sont de module inférieur ou égal à ...
exo7 5133
Pour \(z\in\Cc\setminus\{1\}\), on pose \(Z=\frac{1+z}{1-z}\). Déterminer et cons ...
exo7 5135
On considère l’équation \((E)~:~(z-1)^n-(z+1)^n=0\) où \(n\) est un entier nature ...
exo7 5162
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}\) (remarquer que si ...
exo7 5189
Soit \(f\in\mathcal{L}(\Rr^2)\). Pour \((x,y)\in\Rr^2\), on pose ...
exo7 5207
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe :
exo7 53
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \(z^n=\overline{z}\) où ...
exo7 5316
Soient \(p\) un entier naturel et \(a\) un réel. Donner le développement de ...
exo7 5344
Résoudre dans \(\Cc\) les équations suivantes :
exo7 5352
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^4-21z+8=0\) sachant qu’il existe deux des so ...
exo7 54
Résoudre les équations suivantes : ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 55
Résoudre \(z^6 +27 =0\). (\(z \in \Cc\))
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 56
Soient \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) trois nombres c ...
exo7 57
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(27 (z-1)^6 + (z + 1)^6 = 0\).
exo7 58
Déterminer les racines quatrièmes de \(-7-24i\).
exo7 59
Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...
exo7 592
Soit \(f:\Cc\rightarrow \Cc\) définie par : ...