Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 3 – Trigonométrie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Définition de $\cos(\theta)$, $\sin(\theta)$ et $\tan(\theta)$. | |
Périodicité et symétries. | On fait le lien avec les symétries agissant sur le cercle trigonométrique. |
Formules de trigonométrie : Formules découlant des symétries de $\cos$, $\sin$ et $\tan$. | |
$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$. $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$ $\sin(\alpha \pm b) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$ $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$ $\phantom{\cos(2\theta)} = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)$ $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ | Les autres formules de trigonométrie ne sont pas des attendus du programme. |
Résolution d’équations trigonométriques simples : $\cos(x) = c$, $\sin(x) = s$ et $\tan(x) = t$. Notations arcccos, arcsin, arctan. | On introduit les notations arccos, arcsin et arctan en donnant les définitions correspondantes en termes de solutions d’équations dans certains intervalles et en admettant l’existence et l’unicité de ces solutions. La fonction arctangente sera construite dans Analyse 6. La construction des fonctions arccosinus et arcsininus n’est pas un attendu du programme. |
Transformation de $a\cos(\theta) + b\sin(\theta)$ en $r\cos(\theta + \varphi)$. Résolution de $a\cos(\varphi) + b\sin(\varphi) = c$. | La méthode (analytique, géométrique voire, ultérieurement, complexe) n’est pas imposée. ⇌ On fait le lien avec diverses situations rencontrées en sciences physiques. |
exo7 4955
Soit \(ABC\) un triangle d’angles \(\alpha,\beta,\gamma\).
On note ...
exo7 4973
Quel est l’angle entre deux faces d’un dodécaèdre régulier ? (on donne : \(4\sin\frac\pi5 = \sqrt{10-2\sqrt5}\)) ...
exo7 5063
Résoudre dans \(\Rr\) puis dans \([0,2\pi]\) les équations suivantes :
exo7 5064
Résoudre dans \(\Rr\) puis dans \([0,2\pi]\) les équations suivantes :
exo7 5065
Résoudre dans \(\Rr\) puis dans \(I\) les équations suivantes :
exo7 5066
Résoudre dans \(I\) les inéquations suivantes :
exo7 5067
Calculer \(\cos\frac{\pi}{8}\) et \(\sin\frac{\pi}{8}\).
exo7 5068
Calculer \(\cos\frac{\pi}{12}\) et \(\sin\frac{\pi}{12}\).
exo7 5071
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(2^{4\cos^2x+1}+16.2^{4\sin^2x-3}=20\).
exo7 5072
Soit \(a\) un réel distinct de \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) et ...
exo7 5073
On veut calculer \(S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ\).
exo7 5074
Combien l’équation \[\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0,\] possède-t-elle de solutions dans ...
exo7 5076
Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
exo7 5078
Démontrer les identités suivantes, en précisant à chaque fois leur domaine de validité :
exo7 5082
Montrer que \(\cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^4\frac{7\pi}{8}=\frac{3}{2}\). ...
exo7 5083
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).
exo7 5084
Domaine de définition et calcul des fonctions suivantes :
exo7 5143
Calculer les sommes suivantes :
exo7 5145
(*) Calculer \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{1}{k})\), \(n\in\Nn^*\).
exo7 5163
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;\forall x\in\Rr,\;|\sin(nx)|\leq n|\sin x|\).
exo7 5205
Construire l’ensemble des points \(M\) de coordonnées polaires ...
exo7 5241
Montrer que, pour \(n\geq2\),
...
exo7 5467
Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant le ou les intervalles considérés : ...
exo7 5521
Déterminer les différents angles d’un tétraèdre régulier (entre deux faces, entre deux arêtes et entre une arête et une face).
exo7 5551
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5823
Soit \((\mathcal{H})\) une hyperbole équilatère de centre \(O\) et ...
exo7 5832
Montrer que l’arc paramétré ...
exo7 674
On admet que pour tout \(x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .\)
exo7 701
Calculer la fonction dérivée d’ordre \(n\) des fonctions \(f,g,h\) définies par : ...
exo7 7018
Montrer : \(\forall u\in \R, \forall n\in \N, |\sin(nu)|\leq n|\sin(u)|\).
exo7 7069
À l’extérieur d’un triangle \(BOA\) on construit deux triangles rectangles :
Le triangle ...
exo7 7071
Soit \(A\) un point quelconque du diamètre d’un cercle \(\mathcal C\) et ...
exo7 7072
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le centre de son cercle inscrit, dont on note ...
exo7 7076
On donne un cercle \(\mathcal C\) (de centre \(O\)), un point ...
exo7 7118
Soit \(\mathcal C\) un cercle de centre \(O\), ...
exo7 7127
Une ligne brisée \(ABCDE\) formée d’angles de 45 degrés est inscrite dans un cercle. Elle partage le disque en deu ...
exo7 7128
Soit \(\mathcal C\) un cercle, \([BC]\) une corde, et ...
exo7 7132
On considère l’énoncé suivant :
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe, direct. Alors ...
exo7 7139
Soit \(ABC\) un triangle, \(H\) son orthocentre et ...
exo7 7255
Soit \(\theta\) un nombre réel.
exo7 7256
Exprimer \(\cos(a)\cos(b)\) en fonction de \(\cos(a+b)\) et ...
exo7 7257
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{3} \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\).
exo7 7259
On dit qu’un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient à ce cercle. Démontrer le théorème des angles inscrits :
Deux angles d ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 7267
Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 741
Écrire sous la forme \(\frac{m}{n}\pi\) avec \(m\in \Z\), ...
exo7 742
Résoudre les équations suivantes :
exo7 744
Soient les fonctions \(f:x\mapsto\arcsin(\sin x)\) et ...
exo7 7455
Le but de cet exercice est de démontrer que le symétrique de l’orthocentre \(H\) d’un triangle non plat ...