Programme de mathématiques MP, MPI
Structures algébriques usuelles
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L’étude des structures algébriques offre l’occasion d’approfondir plusieurs points abordés en première année : arithmétique de $\mathbb{Z}$ et de $\mathbb{K}[X]$, congruences, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l’algèbre linéaire, ou, ultérieurement, de la géométrie des espaces euclidiens.
Le paragraphe relatif aux polynômes permet de revenir sur l’étude menée en première année, dans un cadre étendu et dans un esprit plus algébrique mettant l’accent sur la notion d’idéal.
- a) Compléments sur les groupes 199
- b) Compléments sur les anneaux 70
- c) Idéaux de $\mathbb{Z}$ 5
- d) Anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 62
- e) Anneaux $\mathbb{K}[X]$ 41
- f) Algèbres 8
exo7 1434
Soit \(G\) un groupe non réduit à un élément. Un sous-groupe \(M\) de ...
exo7 1435
Déterminer tous les sous-groupes de \(\Zz/8\Zz.\)
exo7 1436
Montrer que le groupe-quotient \(\Cc/\Rr\) est isomorphe à \(\Rr.\)
exo7 1437
Soit \(G\) le groupe \(\Qq/\Zz\). Si \(q\in\Q\), ...
exo7 1438
Décrire le groupe-quotient \(\Rr^{*}/\Rr_{+}^{*}\) et montrer qu’il est isomorphe à ...
exo7 1439
Montrer que tout quotient d’un groupe monogène est monogène.
exo7 1440
Soient \(G\) le groupe-produit ...
exo7 1446
Soit \(G\) le sous-groupe de \(Gl(2, \R )\) engendré par les matrices ...
exo7 1447
Les questions sont indépendantes.
exo7 1571
Montrer qu’un idéal de \(K[X]\) est distinct de \(K[X]\) si et seulement s’il ne ...
exo7 1572
Soient les polynômes \(P=X^4+X^3-2X+1\) et \(Q=X^2+X+1\) de ...
exo7 1573
Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...
exo7 2003
Soit \(X = \left\{ A, B, C, D\right\}\) les sommets d’un carré du plan et ...
exo7 2114
Soit \(G\) un groupe vérifiant ...
exo7 2115
Soit \(G\) un groupe d’ordre pair. Montrer qu’il existe un élément \(x\in G\), ...
exo7 2117
Soient \(G\) un groupe fini et \(m\) un entier premier à l’ordre de ...
exo7 2120
Soit \(G\) un groupe et \(H,K\) deux sous-groupes de ...
exo7 2122
(a) Montrer que les seuls sous-groupes de \(\Z\) sont de la forme \(n\Z\) où ...
exo7 2123
On pose ...
exo7 2124
Soit \(G\) un groupe abélien et \(a\) et ...
exo7 2125
Soit \(G\) un groupe commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini de ...
exo7 2126
Déterminer tous les sous-groupes de \(\mu_2 \times \mu_2\).
exo7 2127
Soient \(G\) un groupe fini et commutatif et \(\{ G_i\} _{i\in I }\) la famille d ...
exo7 2128
Déterminer tous les groupes d’ordre \(\leq 5\). En déduire qu’un groupe non commutatif possède au moins 6 éléments ...
exo7 2129
Le centre d’un groupe \(G\) est l’ensemble \(Z(G)\) des éléments de ...
exo7 2130
Soient \(G\) un groupe et \(H\) et \(K\) deux so ...
exo7 2131
Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétrique \(S_3\).
exo7 2132
Montrer que dans un groupe d’ordre \(35\), il existe un élément d’ordre ...
exo7 2133
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2p\) avec \(p\) u ...
exo7 2134
Soient \(n\geq 0\) un entier et \(p\) un nombre premier tels que ...
exo7 2135
Montrer que tout entier \(n>0\) divise toujours \(\varphi(2^n-1)\) (où ...
exo7 2241
Examiner les carrés \(\quad a^2 \mod n\) pour \(n=3, \ 4,\ 8\).
exo7 2250
Trouver toutes les solutions des équations :
exo7 2254
Lesquels de ces sous-ensembles donnés de \(\Cc\) sont des anneaux ? Lesquels sont ...
exo7 2255
Les éléments inversibles d’un anneau \(A\) forment le groupe multiplicatif ...
exo7 2256
Un élément \(a\) d’un anneau \(A\) s’appelle nilpotent, s’il existe ...
exo7 2257
Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). On note par ...
exo7 2258
Montrer que les éléments nilpotents d’un anneau forment un idéal.
exo7 2259
Soient \(I\), \(J\) deux idéaux d’un anneau ...
exo7 2260
Montrer que \(I\cdot J\subset I\cap J\) et ...
exo7 2261
Soit \(A\) un anneau quelconque. Alors l’anneau de polynômes \(A[x]\) n’est pas u ...
exo7 2262
Montrer que l’idéal \((x, n)\) où \(n\in \Zz\), ...
exo7 2266
Trouver tous les polynômes irréductibles de degré \(2\), \(3\) à coefficients dan ...
exo7 2267
En utilisant les réductions \(\!\mod 2\) ou \(\!\mod 3\) montrer que les polynôme ...
exo7 2268
Soient \[f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1\] où ...
exo7 2269
Soient \(f,g\in \Qq[x]\). Supposons que \(f\) soit ...
exo7 2271
Trouver le \(\pgcd(x^n-1,\ x^m-1)\) dans \(\Zz[x]\).
exo7 2273
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...
exo7 2276
Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...