Programme de mathématiques MP, MPI
e) Anneaux $\mathbb{K}[X]$
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Dans ce paragraphe, $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Idéaux de $\mathbb{K}[X]$. | |
Définition du PGCD de $n\geqslant 2$ polynômes en termes d’idéaux, relation de Bézout. | Par convention, le PGCD est unitaire. |
Irréductibles de $\mathbb{K}[X]$. Existence et unicité de la décomposition en facteurs irréductibles unitaires. | |
Irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$. | La démonstration du théorème de d’Alembert-Gauss est hors programme. L’étude des irréductibles de $\mathbb{K}[X]$ pour un corps autre que $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ n’est pas un objectif du programme. |
exo7 1571
Montrer qu’un idéal de \(K[X]\) est distinct de \(K[X]\) si et seulement s’il ne ...
exo7 1572
Soient les polynômes \(P=X^4+X^3-2X+1\) et \(Q=X^2+X+1\) de ...
exo7 1573
Les parties \(\mathcal{I}=\left\{P\in\Rr[X]:P'(0)=0\right\}\) et ...
exo7 2261
Soit \(A\) un anneau quelconque. Alors l’anneau de polynômes \(A[x]\) n’est pas u ...
exo7 2266
Trouver tous les polynômes irréductibles de degré \(2\), \(3\) à coefficients dan ...
exo7 2267
En utilisant les réductions \(\!\mod 2\) ou \(\!\mod 3\) montrer que les polynôme ...
exo7 2268
Soient \[f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1\] où ...
exo7 2269
Soient \(f,g\in \Qq[x]\). Supposons que \(f\) soit ...
exo7 2271
Trouver le \(\pgcd(x^n-1,\ x^m-1)\) dans \(\Zz[x]\).
exo7 2273
Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...
exo7 2276
Soient \(A=\Zz [\sqrt{-3}]\) et \(K\) son corps de fractions. Montrer que ...
exo7 2280
Dans le cours nous avons déjà montré que le produit de polynômes primitifs est aussi primitif et que ...
exo7 2296
Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...
exo7 2299
Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...
exo7 2307
Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :
exo7 2308
Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...
exo7 3236
Soit \(\alpha \in \C\). On dit que \(\alpha\) est algébriq ...
exo7 3247
Démontrer que \(1 + (X-1)^2(X-3)^2\) est irréductible dans ...
exo7 3443
Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et ...
exo7 425
Déterminer, s’il en existe, tous les idéaux \(J\) de \(\mathbb{R}[X]\) tels que : ...
exo7 6528
Utiliser l’algorithme d’Euclide dans \(\Q[X]\) pour exprimer le pgcd demandé sous forme de combinaison linéaire de ...
exo7 6532
Soit \(a\in \Z\) un nombre sans facteurs carrés, \(a\not\in \{ -1,\; 0,\; 1\}\). ...
exo7 6534
Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...
exo7 6535
Si \(\mathbb{F}\) est un corps, montrer qu’un polynôme \(P\) de degré 2 ou 3 dans ...
exo7 6536
Lesquels parmi les polynômes suivants sont irréductibles dans \(\Q[X]\) ?
...
exo7 6539
Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...
exo7 6545
Soit \(K\) un corps et soit \(K(X)\) le corps des fractions de l’anneau ...
exo7 6546
Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...
exo7 7317
Soient \(P=X^3-1\) et \(Q = X^2-3X+2\) des éléments de ...
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...
exo7 7323
Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...
exo7 7324
Donner la définition d’un groupe.
exo7 7328
Le polynôme \((X^2+X+1)^3\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?
exo7 7331
Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?
exo7 7332
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7346
Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...
exo7 7385
On rappelle que \(\mathbb{F}_5\) désigne le corps \(\Z/5\Z\) à cinq éléments.
exo7 7391
Donner la définition d’un groupe.
exo7 7395
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7398
On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\) ...