Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Inégalités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Relation d’ordre sur $\mathbb{R}$. Compatibilité avec les opérations. Intervalles de $\mathbb{R}$. | Exemples de majoration et de minoration de sommes, de produits et de quotients. Utilisation de factorisations et de tableaux de signes. Résolution d’inéquations. |
Valeur absolue. Inégalité triangulaire. | Interprétation sur la droite réelle d’inégalités du type $\lvert x - a\rvert \leqslant b$. |
Dans $\mathbb{R}$, parties majorées, minorées, bornées. Majorant, minorant ; maximum, minimum. | |
Partie entière d’un nombre réel. | Notation $\lfloor x \rfloor$. |
exo7 5140
Soit \((n,a,b)\in\Nn^*\times]0,+\infty[\times]0,+\infty[\). Quel est le plus grand terme du développement de ...
exo7 5146
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que ...
exo7 5147
Montrer que, pour \(a\) réel positif et \(n\) entier naturel donnés, ...
exo7 5148
On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations ...
exo7 5150
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...
exo7 5151
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels positif ...
exo7 5152
Montrer que : \(\forall x\in\Rr,\;E(x+1)=E(x)+1\).
exo7 5153
Tout entier naturel non nul \(n\) s’écrit de manière unique sous la forme
...
exo7 5154
Soient \(x\) un réel. Déterminer ...
exo7 5155
Soient \(n\) un entier naturel et \(x\) un réel positif.
exo7 5156
Montrer que : \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;\sum_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx)\) (poser la division ...
exo7 5157
Montrer que pour \(n\in\Nn\), ...
exo7 5158
Soit \(n\in\Nn^*\).
exo7 5159
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\forall x\in\Rr,\;E(\frac{E(nx)}{n})=E(x)\).
exo7 5160
Soit \(n\in\Nn^*\) et \((x_1,x_2,...,x_n )\in[-1,1]^n\) tels que ...
exo7 5162
Montrer que \(\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}\) (remarquer que si ...
exo7 5163
Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;\forall x\in\Rr,\;|\sin(nx)|\leq n|\sin x|\).
exo7 5212
Soit \(A\) une partie non vide et bornée de \(\Rr\). Montrer que ...
exo7 526
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle telle que ...
exo7 5285
De combien de façons peut-on payer \(100\) euros avec des pièces de \(10\), ...
exo7 5296
Soient \(A\) la somme des chiffres de \(4444^{4444}\) et ...
exo7 5400
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 572
Soient \(a,b > 0\). Montrer que \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\).
exo7 5851
Soit \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\) une application uniformément continue sur \(\Rr\). ...
exo7 617
Montrer que pour tout \(0<\epsilon <1\) et pour \(x \in \mathbb{R},\) on a: ...
exo7 690
Soit \(f : \Rr \to \Rr\) définie par \(f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.\) Montrer que ...
exo7 7019
Soit \(a \in \R_+\). Montrer ...
exo7 7035
Montrer que pour tout \(n>1\) on a l’inégalité ...
exo7 7036
Montrer que pour tout entier \(N\geq 2\), ...
exo7 7037
Montrer que pour tous \(a,b > 0\) distincts et tout \(n >1\), on a l’inégal ...
exo7 7169
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer ...
exo7 7170
On considère deux réels positifs dont le produit vaut \(100\). Leur somme a-t-elle une valeur minimale et si oui l ...
exo7 7171
Soit \(n>0\) un entier. On considère \(n\) réels positifs dont le produit vaut ...
exo7 7172
Un magasin vend au même prix deux lots de trois cristaux. Le premier lot comporte trois cristaux cubiques de côté ...
exo7 7173
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels positifs. ...
exo7 7175
Soient \(a, b \in \R^*\). Montrer que \[(1+a^2)(1+b^2) \geq 4ab.\]
exo7 7176
Soient \(a, b, c \in \R_+^*\). Montrer que ...
exo7 7177
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que ...
exo7 7178
Soient \(a\), \(b\), \(c\) et ...
exo7 7179
Résoudre sur \(\R\) l’équation \[2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\]
exo7 7180
Résoudre le système ...
exo7 7181
Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs. Montrer que ...
exo7 7182
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Montre ...
exo7 7183
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. Montre ...
exo7 7184
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels non nul ...
exo7 7185
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des réels stricteme ...
exo7 719
Étant donné \(y\) un réel positif et \(n\) un entier naturel pair, montrer que ...
exo7 7353
Soit \(G\) un ensemble muni d’une relation d’ordre \(\leq\) et d’une structure de ...
exo7 7519
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que ...
exo7 7545
Soit \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_nz^n\) deux séries entières de rayon de converg ...