Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
B - Déterminants
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Les objectifs de cette partie sont les suivants :
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des matrices carrées et des endomorphismes ;
- indiquer quelques méthodes simples de calcul de déterminants.
- a) Formes $n$-linéaires alternées 5
- b) Déterminant d’une famille de vecteurs dans une base 47
- c) Déterminant d’un endomorphisme 5
- d) Déterminant d’une matrice carrée 260
- e) Calcul des déterminants 133
- f) Comatrice 16
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Étudier l’existence de solutions du système :
...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
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Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3426
Soient \(A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)\). Montrer ...
exo7 3427
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) et \(A' = ((-1)^{i+j}a_{ij})\). Co ...
exo7 3428
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3432
Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
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Soit \(n\ge 2\) et \(A \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3436
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3437
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3439
Soient \(u,n \in \mathcal{L}(E)\) deux endomorphismes d’un \(\C\)-ev de dimension ...
exo7 3440
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel qu’il existe deux sev \(F,G\) supplémentaires e ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
exo7 3442
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
exo7 3446
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire de \(n\) équations à ...
exo7 3447
Soit \(A\) un anneau commutatif, \(x_1,\dots,x_n\in A\). Dé ...
exo7 3449
Soit un déterminant symétrique réel d’ordre impair dont les coefficients sont entiers, les diagonaux étant de plus pairs. Montrer que ce déterminan ...
exo7 3450
Soit \(M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(q\in[[1,\min(n,p)]]\).
Pour ...
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Calculer les déterminants suivants :
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Déterminer les cas d’annulation des déterminants suivants, puis les calculer :
exo7 3453
Soient \({a,b,c,d} : \R \to \R\) des fonctions dérivables et ...
exo7 3454
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3455
Soit \(n\in\N^*\), \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\in{(\R^*_+)}^n\), ...
exo7 3456
Soient \(a_1, \dots ,a_n \in K\). Le déterminant de Vandermonde associé aux ...
exo7 3457
On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\), \(\alpha = e^{i\pi/n}\) et ...
exo7 3458
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R\). Mettre le déterminant : ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3464
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...
exo7 3474
Soit \(M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Déterminer ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :