Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 621
Déterminer les limites suivantes: ...
exo7 622
On rappelle les limites : ...
exo7 623
Déterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs.
exo7 6239
On désigne par \(E\) l’espace \(C([0,1])\) muni de la norme uniforme et l’opérate ...
exo7 624
Soient \(a,b\) des réels positifs. \(E(x)\) désigne la partie entière de ...
exo7 6240
On considère \(T:C([0,1])\to C([0,1])\) qui à \(f\) associe ...
exo7 6243
Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...
exo7 6244
Parmi les métriques suivantes définies sur \(\Rr\), lesquelles sont uniformément équivalentes à la métrique usuell ...
exo7 6247
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers \(f\) ...
exo7 625
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 626
En utilisant la définition d’une limite, montrer que : ...
exo7 627
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 629
Déterminer les limites suivantes : \[\frac{x}{2 + \sin (\frac 1x)} \qquad \text{ en } 0\]
...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 6315
Soit \(f,g\) deux fonctions réelles continues sur un intervalle \(I\) de ...
exo7 632
Calculer les limites suivantes : ...
exo7 6321
On considère l’équation \((1)\quad x'=3x^{2/3}\) avec condition initiale ...
exo7 633
Calculer : ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 634
Calculer : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{(\sin x)^{2}}-\frac{1}{(\sinh x)^{2}}\right).\]
exo7 635
Calculer : ...
exo7 636
Trouver : \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}\]
exo7 637
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 638
Trouver pour \((a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}\) : ...
exo7 639
Soit \(I\) un intervalle ouvert de \(\Rr\), ...
exo7 640
Soit \(f\) une fonction de \(\lbrack a,b \rbrack\) dans ...
exo7 641
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 642
Soit \(f:[a,b]\longrightarrow\R\) une fonction continue telle que \(f(a)=f(b)\). ...
exo7 643
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue telle que ...
exo7 644
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr^ +\) continue telle que \(f (0) = 1\), ...
exo7 645
Soient \(I\) un intervalle de \(\Rr\) et ...
exo7 646
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) continue admettant une limite finie en ...
exo7 647
Soient \(f\) et \(g\) continues sur \([0, 1]\) t ...
exo7 648
Soit \(f\) croissante sur \([a, b]\) et prenant toute valeur entre ...
exo7 649
Soit \(f:\Rr\rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que ...
exo7 650
Soit \(f\) périodique croissante. Que dire de \(f\) ?
exo7 651
Donner un exemple de fonction continue sur \([0,1]\) non lipschitzienne, puis de fonction continue en un seul poin ...
exo7 652
Soit \(f\) continue sur \(\Rr\) admettant \(1\) ...
exo7 653
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) croissante, montrer qu’elle a un point fixe.
Indication : étudie ...
exo7 654
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) croissante telle que ...
exo7 655
Soit \(f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr\) une fonction vérifiant : ...
exo7 656
Soit \(f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}\) croissante. Construire ...
exo7 657
Donner un exemple d’application \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) non constante telle que : ...
exo7 658
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue. Montrer que : ...
exo7 659
Existe-t-il une bijection continue de \([0,1[\) sur \({\Rr }\) ?
exo7 660
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]\) continue telle que \(f\circ f=f\). On note ...
exo7 661
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) continue, évaluer : ...
exo7 662
Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue ?
exo7 663
Soit \(f\) uniformément continue sur \({\Rr}^{+}\) telle que ...