Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment à valeurs dans $\mathbb{K}$. | Le programme n’impose pas de construction particulière. Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]} f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert \displaystyle\int_{[a,b]} f \right\rvert \leqslant \displaystyle\int_{[a,b]} \lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b \leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]} f = 0$, alors $f = 0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux sur un segment. |
exo7 4134
Soit \(J\) un intervalle de \(\R\) et ...
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4220
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue telle que pour toute fonction ...
exo7 4221
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue non identiquement nulle, telle que : ...
exo7 4222
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive.
exo7 4223
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue et \(g : \R \to \R\) continue convexe.
...exo7 4224
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue positive. On pose ...
exo7 4225
Chercher \(\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t\).
exo7 4226
Pour \(0<a<b\), déterminez ...
exo7 4227
Soit \(f : {[a,b]} \to {[c,d]}\) continue, bijective, strictement croissante.
Calculer ...
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4233
Pour \(x \in \R,\ x \ne \pm1\), on pose ...
exo7 4234
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue. Pour \(n \in \N^*\), on pose ...
exo7 4235
Soit \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac {t\sin t}{1 + \cos^2t}\,d t\). Effectuer dans ...
exo7 4236
Calculer \(I = \int_{t=0}^\pi \ \frac t{1+\sin t}\,d t\).
exo7 4237
Calculer \(\int_{t=0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t)\,d t\). On remarquera que ...
exo7 4238
On note \(I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x\), ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4240
Simplifier \(\int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t\).
exo7 4241
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\), \(K\)-lipchitzienne.
Montrer que ...
exo7 4242
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On fixe ...
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4244
Étudiez la limite de la suite définie par \(u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp\)
exo7 4245
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4248
Soit \(f:\R \to \R\) convexe et \(g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t\). Montrer ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4253
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to {\R}\) continues, \(f\) décroissante, et ...
exo7 4255
On note \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t\).
exo7 4256
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose ...
exo7 4257
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue. Montrer que ...
exo7 4258
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
...
exo7 4259
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}\) continue.
exo7 4262
Soit \(a<0<b\) et \(f\) continue sur ...
exo7 4267
\(\int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}\)
...
exo7 4268
\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}}\) (cv)
...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 4270
\(\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3}\)
...
exo7 4271
\(\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2}\)
...
exo7 4272
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4274
Soit \((a_k)\) une suite de réels telle que \(\sum_{k=0}^n a_k = 0\). Étudier la ...
exo7 4275
Existence et calcul de \(f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}\).
exo7 4276
Convergence et calcul de \(\int_{t=0}^{+\infty}\frac{t\,d t}{\sh t}\) (on pourra décomposer l’intégrande en somme ...
exo7 4277
On pose \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t\) (\(n\in\N^*\)). C ...
exo7 4278
Soit \(\alpha \in\, ]0,\pi[\) et ...