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Résoudre les équations :

Soit \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\) une famille de polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) te ...

Résoudre l’équation d’inconnue \(P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).\)

Soient \(W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.\)

Trouver une suite de polynômes \((P_n)\) convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur ...

Soit \(p \in \N\) fixé et \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degrés ...

Rayon et somme de \(\sum P(n)x^n\) où \(P\) est un polynôme de degré ...

Calculer les sommes suivantes :

Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., ...

Soit \(u_n=10...01_2\).(\(n\) chiffres égaux à ...

Trouver tous les polynômes \(P\) vérifiant \(P(2X)=P'(X)P''(X)\).

Pour \(n\) entier naturel non nul donné, on pose \(L_n=((X^2-1)^n)^{(n)}\).

Soient \(x_0\),..., \(x_{n-1}\) \(n\) nombres co ...

Soient \(x_1\),..., \(x_n\) \(n\) entiers nature ...

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées complexes de format ...

Soit \(f\) une application continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...

Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...

Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...

Soient \(\rho, \theta, \varphi\) les coordonnées sphériques dans \(\Rr^3\). On po ...

Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes :

Montrer que les anneaux de polynômes \(\R[X]\) et \(\C[X]\) ne sont pas isomorphe ...

Pour les anneaux de polynômes sur un corps \(F\) montrer que ...

Trouver tous les automorphismes de l’anneau \(\mathbb{F} [X]\), où \(\mathbb{F}\) ...

Soit \(P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_0\in \Z[X]\) et soit \(c\in \Q\) une ...

Montrer que \(X^2+1\) est irréductible en tant qu’élément de \(\Q[X]\) mais réduc ...

Soit \(p\in \N^*\) un nombre premier. Montrer que les polynômes ...

Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...

Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...

Calculer le résultant des polynômes :

Soit \(n\in\Nn\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in\Cc[X]\) tel que ...

Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).

Montrer que \(\Z \times \Z\) peut être muni d’une structure naturelle d’anneau.

Soit \(P = X^4 + 1 \in \C[X]\).

Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...

Donner la définition d’un groupe.

Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?

Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...

Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition ...

Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).

Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...

Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...

Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...

Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...

Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...

Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...