Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel
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Le but de cette partie, qu’il convient d’illustrer par de nombreuses figures, est double :
- montrer comment l’algèbre linéaire permet d’étendre les notions de géométrie affine étudiées au collège et au lycée et d’utiliser l’intuition géométrique dans un cadre élargi.
- modéliser un problème affine par une équation $u(x) = a$ où $u$ est une application linéaire, et unifier plusieurs situations de ce type déjà rencontrées.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Présentation informelle de la structure affine d’un espace vectoriel : points et vecteurs. Translation. | L’écriture $B = A + \vec{u}$ est équivalente à la relation $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$. |
Sous-espace affine d’un espace vectoriel, direction. Hyperplan affine. Intersection de sous-espaces affines. | Sous-espaces affines de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. |
Notion d’équation linéaire, i.e. de la forme $u(x) = a$ où $u \in \mathscr{L}(E, F)$, $a \in F$. L’ensemble des solutions est soit l’ensemble vide, soit un sous-espace affine dirigé par $\operatorname{Ker} u$. | Retour sur les systèmes linéaires, les équations différentielles linéaires d’ordres 1 et 2, les suites arithmético-géométriques, la recherche de polynômes interpolateurs. |
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On considère un carré \(ABCD\) et on place quatre points \(E\), ...
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Soit un quadrilatère convexe \(ABCD\). Les points \(E\), ...
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Soient \(ABCD\) et \(AB'C'D'\) des carrés de même orientation et de c ...
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Soit \(\mathcal C\) un cercle et \(P\) un point du plan. On considère une droite ...
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On rappelle qu’un quadrilatère d’un espace euclidien \(E\) est un parallélogramme si ses diagonales se co ...
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On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7278
Étant donnés trois points \(A\), \(B\), ...
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Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion ...
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La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
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La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas ...
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Rappeler les définitions du parallélisme et du parallélisme faible.
exo7 7416
Donner la liste des sous-espaces affines du plan affine \(\Rr^2\) et de l’espace affine ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
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Soit \(A,B,C,D\) quatre points d’un plan affine. Soit \(I\) le milieu de ...
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Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
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Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7421
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 7423
Dans un espace affine de dimension \(3\) muni d’un repère affine.
exo7 7424
Dans l’espace affine \(\Rr^2\), on considère le triangle \(ABC\). Choisir un repè ...
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Soient \(\mathcal{E}\) un espace affine de dimension 3, et \(A,B,C,D\) un tétraèd ...
exo7 7427
Dans un plan affine, soit \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles de cen ...
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Soit \((AB)\) une droite dans un espace affine déterminée par deux points distincts ...
exo7 7429
On suppose savoir tracer la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On peut utiliser un compas mais seulement pour reporter des l ...
exo7 7430
On considère dans l’espace affine \(\Rr^2\) un triangle non aplati \(ABC\). Soit ...
exo7 7431
Une application affine peut-elle avoir exactement deux points fixes distincts ?
Donner un exemple d’application affine sans point fixe, qui ...
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7433
Montrer à l’aide de la règle du parallélogramme que les seules applications affines dont la partie linéaire est l’identité sont les translations. ...
exo7 7434
Soit \(E\) un espace affine et \(f\) une application affine dont la partie linéai ...
exo7 7436
Soit \(E\) un espace affine et \(F\) et \(G\) de ...
exo7 7437
Dans l’espace affine \(E=\Rr^3_{aff}\), on considère un endomorphisme affine ...
exo7 7438
Dans l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\), donne ...
exo7 7440
Dans un plan affine, quel est l’ensemble des milieux des segments dont les extrémités appartiennent respectivement à deux segments donnés.
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7447
Démontrer que dans un espace affine euclidien \(E\) la fonction ...
exo7 7448
Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine euclidien de dimension \(3\). Pour tout cou ...
exo7 7450
Dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé on considère les points ...
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Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7454
Soit \(A\) et \(B\) deux points fixés dans un plan affine euclidien. Déterminer l ...
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Soit \(A\) et \(B\) deux points d’un plan affine euclidien. Déterminer suivant la ...
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On munit le plan affine euclidien d’un repère orthonormé \((O,i,j)\) et on l’identifie au plan complexe. Écrire à ...
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Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7463
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension \(3\) muni d’un repère cartési ...
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Soit \(C\) un cercle et \(\vec{u}\) un vecteur. Construire une corde ...
exo7 7474
Soit \(E\) un plan affine euclidien muni d’un repère cartésien orthonormé. Soient ...
exo7 7475
Soit \(E\) un plan affine euclidien. Soient \(\mathcal{R}\) un repère cartésien o ...
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Dans un plan affine euclidien orienté on considère deux points distincts \(O\) et ...
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Soient \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 et \(\mathcal{R}\) un repè ...
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Construire un carré \(ABCD\) sachant que \(A\) et ...
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Dans le plan affine \(P\) réel, muni d’un repère affine \((A_0,A_1,A_2)\), à quel ...