Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
b) Structure de groupe
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe. | Notation $x^n$ dans un groupe multiplicatif, $nx$ dans un groupe additif. Exemples usuels : groupes additifs $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, groupes multiplicatifs $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{Q}_+^*$, $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{C}^*$, $\mathbb{U}$, $\mathbb{U}_n$. |
Groupe des permutations d’un ensemble. Groupe produit. Sous-groupe : définition, caractérisation. Morphisme de groupes. Image et image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. | Notation $S_X$. |
Image et noyau d’un morphisme. Condition d’injectivité. Isomorphisme. | Notations $\operatorname{Im} f$, $\operatorname{Ker} f$. |
exo7 2987
Soit \(n \in \N\), \(n \ge 3\). On note ...
exo7 2988
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu’il existe un élément d’ordre 2. ...
exo7 2990
Soit \(G\) un groupe fini tel que : \(\forall\ x \in G,\ x^2 = e\).
exo7 2991
Déterminer tous les groupes finis de cardinal 6 (on admettra que dans un tel groupe, il existe un élément ...
exo7 2992
Soit \(E = \R \setminus \{0,1\}\), et \(f : E \to E, x \mapsto {\frac 1x}\), ...
exo7 2993
Pour \(\alpha \in \C^*\) et \(\beta \in \C\), on note ...
exo7 2995
Soient \(H,K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Pour ...
exo7 2996
Soit \(G\) un groupe commutatif fini d’ordre \(n = ab\) avec ...
exo7 2997
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\Q\) engendré par un nombre f ...
exo7 2998
Montrer que les groupes \((\Q, +)\) et \((\Q^{+*}, \times )\) ne sont pas isomorp ...
exo7 2999
Soit \(p\) un entier naturel premier. On appelle \(G\) l’ensemble des ...
exo7 3000
Soit \(f: G \to {G'}\) un morphisme de groupes où \(G\) est un g ...
exo7 3001
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(p^k\) où ...
exo7 3003
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(n\). Montrer qu’il existe une partie g ...
exo7 3004
Soit \(G\) un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que \(G\) est ...
exo7 3020
Soit \(G\) un groupe additif et \(A = \{ \text{morphismes } f : G \to G\}\).
exo7 3028
Soit \(K\) un corps fini de cardinal \(n\). Si ...
exo7 3064
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\R\), ...
exo7 3074
Soit \(n \in \N^*\). Montrer que \({\cal S}_n\) est engendré par les ...
exo7 3077
Soit \(n \in \N,n \ge 4\).
exo7 3080
Soient \(\sigma, \sigma' \in {\cal S}_n\). On dit que \(\sigma\) et ...
exo7 3081
Soit \(E\) un ensemble fini et \(f : {{\cal S}_E} \to {\C^*}\) un morphisme de gr ...
exo7 3083
Soit \(E\) un ensemble ayant au moins trois éléments.
exo7 3084
Soit \(\sigma = (1\ 2\ \dots \ n) \in {\cal S}_n\). Trouver toutes les permutations ...
exo7 3085
Dans \({\cal S}_{10}\), quelles sont les permutations qui commutent avec ...
exo7 3087
Trouver l’ordre maximal d’une permutation de \({\cal S}_{10}\).
exo7 3088
Soit \(H\) un sous-groupe de \({\cal S}_n\) d’ordre ...
exo7 3336
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3357
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL(\R^n)\) et ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3382
Soit \({\cal G} \subset \mathcal{M}_n(K)\) tel que pour la multiplication, ...
exo7 3392
Que dire des morphismes de groupe \(\varphi : {GL_n(\R)} \to {\Z/p\Z}\) ?
exo7 3495
Soit \(E\) un \(\R\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 4720
Soit \(A =\{ n+p\sqrt2 \text{ tq } n,p \in \N,\ n+p\sqrt2 > 0,\ n^2-2p^2 = 1\}\). Montrer que ...
exo7 4956
Soit \(G\) un sous-groupe fini de déplacements du plan.
exo7 5176
Montrer que la commutativité de la loi \(+\) est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vecto ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5263
Montrer que ...
exo7 5354
Démontrer que \(S_n\) est engendré par ...
exo7 5356
Démontrer que \(S_n\) est engendré par \(\tau_{1,2}\) et le cycle ...
exo7 5357
Soit \((G,\times)\) un groupe. Montrer que \((G,\times)\) est isomorphe à un sous ...
exo7 5359
\(\sigma\) étant une permutation de \(\{1,...,n\}\) donnée, on définit la matrice ...
exo7 5360
\(A_1\), \(A_2\),..., ...
exo7 5361
Dans \(E=\Rr^n\), on considère l’hyperplan \(H\) d’équation ...
exo7 5593
Soit \(E\) un espace vectoriel. Soit \(G\) un sous-groupe fini de ...
exo7 5594
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(GL_n(\Rr)\) te ...
exo7 5595
Soit \(G\) un sous-groupe de \(GL(E)\) avec ...
exo7 5669
Pour \(\sigma\in S_n\), \(n\geqslant 2\), on définit la matrice ...
exo7 6178
Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif \(\Cc^*\) sont contenus dans ...