Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
a) Relations de comparaison : cas des fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Relations de domination, de négligeabilité, d’équivalence en un point $a$ de $\mathbb{R}$ ou $a=\pm\infty$. Lien entre ces relations. | Notations $f(x)\underset{x\to a}{=}O(g(x))$, $f(x)\underset{x\to a}{=}o(g(x))$, $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$. La relation $f(x)\underset{x\to a}{=}o(g(x))$ est définie à partir du quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ sous l’hypothèse que la fonction $g$ ne s’annule pas localement. Pour la relation $f(x)\underset{x\to a}{\sim}g(x)$, on donne les deux formes $\dfrac{f(x)}{g(x)}\underset{x\to a}{\longrightarrow}1$ et $f(x)\underset{x\to a}{=}g(x)+o(g(x))$, en insistant sur l’intérêt de la seconde dans les calculs. Pour mener une étude locale de $f$ au voisinage de $a\neq 0$, on étudie $f(a+h)$ pour $h\to 0$. Traduction à l’aide du symbole $o$ des croissances comparées de $\ln^\beta(x)$, $x^\alpha$, $\mathrm{e}^{\gamma x}$ en $+\infty$, de $\ln^\beta(x)$, $x^\alpha$ en 0. |
Règles usuelles de manipulation des équivalents et des symboles $o$ et $O$. Obtention d’un équivalent par encadrement : si les fonctions réelles $f$, $g$, $h$ vérifient $f\leqslant g\leqslant h$ et si $f(x)\underset{x\to a}{\sim}h(x)$, alors $g(x)\underset{x\to a}{\sim}f(x)$. Propriétés conservées par équivalence : signe, limite. |
exo7 4301
On pose \(f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t\).
exo7 4302
Montrer que pour \(0 \le x \le \sqrt n\) on a : ...
exo7 4312
Donnez un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4324
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4328
Chercher un équivalent pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4354
Montrer que \(\Gamma(x+1) \sim x^xe^{-x}\sqrt{2\pi x}\) pour \(x\) réel tendant v ...
exo7 4357
Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...
exo7 4362
On considère \(f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}\).
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4366
Étudier \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4367
Soit \(f(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}\,d t\).
exo7 4370
Montrer, pour \(x>1\) : ...
exo7 4371
Soit \(f\) : \(x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}\). Détermin ...
exo7 4372
Soit \(\alpha\in{]0,\frac\pi2[}\) et \(\lambda\in\R\). Chercher un équivalent pou ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4439
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :
exo7 4478
Montrer que \(n! = \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+\frac 1{12n} + O\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\) ...
exo7 4480
Montrer qu’il existe \(C\in\R\) tel que ...
exo7 4534
Soit \(g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}\).
exo7 4558
On pose pour \(x\in\R\) : ...
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 4911
Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...
exo7 5394
Soit \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) à valeurs dans ...
exo7 5429
Etude au voisinage de \(+\infty\) de \(\sqrt{x^2-3}-\sqrt[3]{8x^3+7x^2+1}\).
exo7 5431
Equivalent simple en \(+\infty\) et \(-\infty\) de ...
exo7 5433
Développement asymptotique à la précision \(x^2\) en \(0\) de ...
exo7 5434
Soient \(a>0\) et \(b>0\). Pour ...
exo7 5438
Montrer que l’équation \(x+\ln x=k\) admet, pour \(k\) réel donné, une unique sol ...
exo7 5441
La fonction \(x\mapsto\Arccos x\) admet-elle en \(1\) (à gauche) un développement ...
exo7 5443
Etude complète des fonctions suivantes
exo7 5458
Montrer que \(\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})\).
exo7 5459
Déterminer les limites quand \(n\) tend vers \(+\infty\) de
...
exo7 5713
Etudier l’existence des intégrales suivantes
| 1) (** ... |
exo7 5714
Etudier l’existence des intégrales suivantes.
| 1) (* ... |
exo7 5720
1) (** I) Trouver un équivalent simple quand \(x\) tend vers ...
exo7 5736
Pour \(x>0\), on pose \(f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}\). Trouver un ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5759
Soient \((a_n)_{n\in\Nn}\) et \((b_n)_{n\in\Nn}\) deux suites de réels strictemen ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 5840
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit ...
exo7 5875
Soit \(\alpha\in\Cc\) tel que \(\text{Re}(\alpha) > 0\). Soit ...
exo7 611
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 630
Étudier les asymptotes de \(f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}\).
exo7 631
Montrer que \[\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ où } \alpha > 0.\] En déduire ...
exo7 635
Calculer : ...