Texte officiel du programme
Cette section vise les objectifs suivants :
- généraliser au cas des espaces vectoriels sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ certaines notions (convergence de suites, limite et continuité de fonctions) étudiées en première année dans le cadre de l’analyse réelle, indispensables pour aborder l’étude des suites de matrices, des fonctions à valeurs vectorielles et du calcul différentiel ;
- fournir un cadre topologique à la convergence des suites et séries de fonctions.
Les notions seront illustrées par des exemples concrets et variés.
Il convient de souligner l’aspect géométrique des concepts topologiques à l’aide de nombreuses figures.
- a) Normes 104
- b) Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé 66
- c) Comparaison des normes 26
- d) Topologie d’un espace vectoriel normé 97
- e) Limite et continuité en un point 118
- f) Continuité sur une partie 23
- g) Espaces vectoriels normés de dimension finie 21
exo7 1873
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé, \(x\) un élément de ...
exo7 1874
Soient \((E,\|\cdot\|_E)\) et \((F,\|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. ...
exo7 1876
Soit \((E,\|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé et \((x_n)_{n\in\N}\) une suite ...
exo7 1878
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On rappelle qu’une application co ...
exo7 1879
Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On définit la distance d ...
exo7 1880
\(N:(x,y)\longmapsto |5x+3y|\) est-elle une norme de \(\R^2\) ?
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1882
Soit ...
exo7 1883
\(A\) est dit convexe s’il contient tout segment reliant deux quelconques de ses points : ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1885
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, et \((a,a')\in E^2\), ...
exo7 1886
Soit \((E,N)\) une espace vectoriel. Montrer les équivalences : ...
exo7 1887
Quelles sont toutes les normes sur le \(\R\)-espace vectoriel \(\R\) ?
On ...
exo7 1888
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1889
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(C^1\) sur ...
exo7 1890
Soit \(E\) un espace vectoriel normé, \(A\) une partie de ...
exo7 1891
Soit \(A\) l’ensemble des fonctions continues sur \([0,1]\) telles que ...
exo7 1892
Soit \((E,\Vert \quad \Vert )\) un espace vectoriel normé sur \(\Rr\). On pose ...
exo7 1895
On munit \(C[0,1]\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à v ...
exo7 1896
On munit \(E\), l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) à valeur ...
exo7 1898
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1901
Soit \(x_n\) une suite de \(\Rr^d\). Montrer que l’ensemble ...
exo7 1903
Soit \(f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d\) continue. Soit \(x_0\in\Rr^d\). Soit ...
exo7 2058
Soit \(\gamma :[0,1]\rightarrow \Cc\) continue, et \(z\in \Cc\) quelconque. Montr ...
exo7 2100
Calculer la limite des suites suivantes :
exo7 2212
Soit \(A\) une matrice d’ordre \((m,n)\). Démontrer les inégalités suivantes pour ...
exo7 2221
Soit \(A\) une matrice inversible donnée.
exo7 2238
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices réelles d’ordre ...
exo7 2239
On considère le système \(Ax=b\) avec ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2358
Soit \(f\) une fonction réelle continue sur \([0,1]\); montrer que ...
exo7 2359
Soit \(f\) une fonction continue de \(]0,1[\) dans ...
exo7 2362
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés et ...
exo7 2363
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2365
Soit \(X = \Rr[x]\) l’ensemble des polynômes. Pour ...
exo7 2372
Soient \(K,F\subset \Rr^n\) des parties non vides, \(K\) compact et ...
exo7 2376
Soit \(E\) un espace normé. Si \(A\) et \(B\) so ...
exo7 2377
Soit \(f:\Rr^n \to \Rr^n\) une application continue. Elle est dite propre si pour tout compa ...
exo7 2394
On sait que \(l^1\) est inclus dans \(l^2\) (au fait pourquoi ?) mais n’est pas f ...
exo7 2406
Soit \(X = ({\cal C}^1([0,1]),N)\) avec \(N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty\) ...
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 2460
Identité du parallélogramme
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vecto ...
exo7 2494
Montrez que \(d(x,y)=|x-y|\) est bien une distance sur l’ensemble des réels.
exo7 2495
Décrire la boule de centre l’origine et de rayon \(1\) dans les espaces suivants:
exo7 2498
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces normés réels et ...
exo7 2514
Que peut-on dire de la différentiabilité de l’application \(f:\Rr^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2522
Soit \(f\) une application différentiable de \(]a,b[\subset\Rr\) dans ...