Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
B - Déterminants
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★ Le déterminant est présenté dans sa version matricielle. L’interprétation géométrique en terme d’aire et de volume algébrique est faite via le produit mixte défini dans la section « Géométrie du plan et de l’espace ». Les capacités attendues sont la connaissance et l’utilisation des propriétés du déterminant permettant un calcul simple via des opérations élémentaires. Tout excès de technicité est exclu et l’outil informatique est utilisé dès que le calcul s’avère trop lourd. Le vocabulaire des formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique et les formules de Cramer sont hors programme.
- a) Déterminant d’une matrice carrée 349
- b) Propriétés du déterminant 6
- c) Déterminant d’une famille de vecteurs, d’un endomorphisme 45
Calcul de déterminant
Calculer les déterminants ci-dessous en indiquant la méthode de calcul :
...
Complexes et matrices
L’ensemble des nombres complexes est défini par \(\mathbb{C}=\{a+i b / a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}\}\) avec ...
Compter les paramètres d'un RNN, LSTM et GRU
Le nombre de paramètres d’un réseau est un indicateur clé de sa capacité et de son coût d’entraînement. On note :
...
Convolution 2D complète à la main avec padding same
On considère l’image \(I\) et le noyau \(K\) suivants : ...
Déterminant d'un produit
En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice \(A\) vérifiant : ...
Déterminant d'un produit
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées telles que ...
exo7 1008
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les polynômes ...
exo7 1009
Etudier la liberté des familles
exo7 1024
Déterminer suivant la valeur de \(x \in \Rr\) le rang de la famille de vecteurs ...
exo7 1041
On considère la matrice suivante : ...
exo7 1043
On considère les deux matrices suivantes : ...
exo7 1044
Trouver les matrices qui commutent avec ...
exo7 1045
Soit ...
exo7 1046
Soit \(A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0& 1 &1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et soit ...
exo7 1047
On considère la matrice ...
exo7 1049
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) ; on suppose que ...
exo7 1050
Soit \(A= \begin{pmatrix} -1 & 1 &1 \\ 1 & -1&1&\\ 1 & 1&-1 \end{pmatrix}\)
...
exo7 1052
Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Cal ...
exo7 1053
Déterminer deux éléments \(A\) et \(B\) de ...
exo7 1054
Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par ...
exo7 1055
Soit \(A\in M_2(\R ) .\) On nomme commutant de \(A\) et on note ...
exo7 1058
Soient \(A\) et \(B \in M_n(\mathbb{K} )\) deux matrices triangulaires supérieure ...
exo7 1059
Soit \(N\in M_n(\C )\) une matrice nilpotente. Calculer \(\hbox{det}(I+N) .\) Si ...
exo7 1060
Soit ...
exo7 1061
Soit \(A(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}\) ...
exo7 1062
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -2&1&-1 \\ 2&0&2 \end{pmatrix}\).
exo7 1067
Déterminer l’ensemble des matrices \(M\in M_{n}({\Rr})\) telles que : ...
exo7 1068
Soit \(M\in M_{n}({\Rr})\) telle que \(M-I_{n}\) soit nilpotente (ie ...
exo7 1069
\(A=\left( a_{i,j}\right) \in \mathcal{M}_{n}(\Rr)\) telle que : ...
exo7 1070
Montrer que si \((A,B)\in M_{n}({\Rr})\) et \(AB=A+B\) alors ...
exo7 1071
Soit \(M=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr}),\) montrer : ...
exo7 1072
Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...
exo7 1073
Soit \((A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}\) tel que \(\forall X\in M_{n}(\Cc),\) ...
exo7 1074
Soit \((A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}\) tel que \(AB=I+A+A^{2}.\) Montrer que ...
exo7 1075
Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\)une matrice triangulaire à éléments diagonaux nuls, montrer que : ...
exo7 1076
Calculer les puissances de : ...
exo7 1077
Soit \(A\in M_{n}({\Rr})\) nilpotente, on définit : ...
exo7 1078
Calculer l’inverse de : ...
exo7 1079
Calculer l’inverse de : ...
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1124
On note \(a,\) \(b,\) \(c\) des réels. Calculer ...
exo7 1136
Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le développer que le déterminant ...
exo7 1138
Pour \((a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}\), on note \(A_{(a_{0}\dots a_{n})}\) la ma ...
exo7 1140
Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère ...
exo7 1142
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1150
Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...
exo7 1152
Inverser les matrices ...
exo7 1153
Montrer que ...