Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
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Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d’isométries ainsi qu’un isomor ...
exo7 7161
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un carré plein du plan (c’est-à-dire l’enveloppe convexe de ses sommets) et ...
exo7 7162
Soit \(\mathcal C=ABCD\) un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d’isométries, et préciser un isomorp ...
exo7 7254
On rappelle qu’un quadrilatère d’un espace euclidien \(E\) est un parallélogramme si ses diagonales se co ...
exo7 7272
Soit \(E\) un plan euclidien et \(A\) et \(B\) d ...
exo7 7273
Soit \(d\) une droite d’un plan euclidien orienté \(E\) de vecteur directeur ...
exo7 7274
On rappelle que l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\lambda\), ...
exo7 7276
Étant données deux demi-droites \([OA)\) et \([OB)\), on veut construire la bisse ...
exo7 7278
Étant donnés trois points \(A\), \(B\), ...
exo7 7279
Étant données trois droites concourantes, construire un triangle dont ce sont les médiatrices. (Indication: on pourra considérer l’application comp ...
exo7 7285
Si \(\Omega\) est un point et si \(\lambda\) est un réel non nul, l’inversion ...
exo7 7288
La notion de «construction au compas» est un peu ambiguë. On distingue:
le compas traçant, qui permet, à partir de deux po ...
exo7 7289
La question de trouver le centre d’un cercle à la règle et au compas a été étudiée à l’exercice [centre-regle-compas ...
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7357
Construire à la règle et au compas un hexagone régulier \(E\).
exo7 7410
Dans \(\Rr^4\) on considère les quatre vecteurs ...
exo7 7412
Soit \(\R[X]\) l’ensemble de polynômes dans \(\R\) et soit ...
exo7 7414
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de classe \(\mathcal C^1\) de ...
exo7 7415
Rappeler les définitions du parallélisme et du parallélisme faible.
exo7 7416
Donner la liste des sous-espaces affines du plan affine \(\Rr^2\) et de l’espace affine ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7418
Soit \(A,B,C,D\) quatre points d’un plan affine. Soit \(I\) le milieu de ...
exo7 7419
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7420
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7421
Soit l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\).
exo7 7422
Soit \(a\) et \(b\) deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d’un ...
exo7 7423
Dans un espace affine de dimension \(3\) muni d’un repère affine.
exo7 7424
Dans l’espace affine \(\Rr^2\), on considère le triangle \(ABC\). Choisir un repè ...
exo7 7426
Soient \(\mathcal{E}\) un espace affine de dimension 3, et \(A,B,C,D\) un tétraèd ...
exo7 7427
Dans un plan affine, soit \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles de cen ...
exo7 7428
Soit \((AB)\) une droite dans un espace affine déterminée par deux points distincts ...
exo7 7429
On suppose savoir tracer la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On peut utiliser un compas mais seulement pour reporter des l ...
exo7 7430
On considère dans l’espace affine \(\Rr^2\) un triangle non aplati \(ABC\). Soit ...
exo7 7431
Une application affine peut-elle avoir exactement deux points fixes distincts ?
Donner un exemple d’application affine sans point fixe, qui ...
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7433
Montrer à l’aide de la règle du parallélogramme que les seules applications affines dont la partie linéaire est l’identité sont les translations. ...
exo7 7434
Soit \(E\) un espace affine et \(f\) une application affine dont la partie linéai ...
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Soit \(E\) un espace affine et \(F\) et \(G\) de ...
exo7 7437
Dans l’espace affine \(E=\Rr^3_{aff}\), on considère un endomorphisme affine ...
exo7 7438
Dans l’espace affine \(\Rr^3\) muni d’un repère affine \(A_0,A_1,A_2,A_3\), donne ...
exo7 7440
Dans un plan affine, quel est l’ensemble des milieux des segments dont les extrémités appartiennent respectivement à deux segments donnés.
exo7 7442
On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7447
Démontrer que dans un espace affine euclidien \(E\) la fonction ...
exo7 7448
Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine euclidien de dimension \(3\). Pour tout cou ...
exo7 7450
Dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé on considère les points ...
exo7 7453
Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ?
exo7 7454
Soit \(A\) et \(B\) deux points fixés dans un plan affine euclidien. Déterminer l ...
exo7 7457
Soit \(A\) et \(B\) deux points d’un plan affine euclidien. Déterminer suivant la ...
exo7 7458
En décomposant les rotations en produits de réflexions, déterminer le centre d’une composée de deux rotations dont la somme des angles n’est pas nu ...