Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Géométrie du plan et de l’espace
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À l’issue de la terminale, les étudiants connaissent le plan géométrique euclidien et l’espace géométrique euclidien de dimension 3 en tant qu’ensembles de points, la façon d’associer à deux points $A$ et $B$ le vecteur $\overrightarrow{AB}$, ainsi que les propriétés opératoires usuelles. À ce titre, on pourra utiliser la notation $B=A+\vec{u}$, équivalente à $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$.
Cette section permet d’illustrer géométriquement la théorie des systèmes linéaires et de renforcer l’intuition géométrique en lien avec l’étude des espaces vectoriels abstraits. Il convient d’avoir recours à de nombreuses figures en dimension 2 et en dimension 3.
exo7 1508
A deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\R_{n}[X]\) ...
exo7 1524
On considère un espace euclidien \((E,<>)\). On rappelle que l’adjoint ...
exo7 1530
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(3 .\)
exo7 1535
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 1536
Soit \(\, E\,\) un espace euclidien de dimension \(\, 3\, .\)
exo7 156
Dans le plan, on considère trois droites \(\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}\) formant un “vrai” triangle : elles n ...
exo7 1561
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1575
Soit \(P\in \C [X]\) tel que \(P(0)=0\) et ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1735
Soit ...
exo7 1740
Soit \(x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n\). On pose ...
exo7 1745
Dans \(\R^2\) ou \(\R^3\) euclidien muni d’une b.o.n., représenter les ensembles ...
exo7 1763
Dans \(\R^2\) euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts ?
exo7 1828
Trouver le point du plan \((2x-y + z = 16)\) le plus proche de l’origine.
exo7 1864
Montrer que : ...
exo7 1865
Pour tout \((x,y) \in \R^2\), on pose ...
exo7 1866
Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...
exo7 1869
On considère les trois normes définies sur \(\mathbb{R}^2\) par: ...
exo7 1870
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\), défini ...
exo7 1880
\(N:(x,y)\longmapsto |5x+3y|\) est-elle une norme de \(\R^2\) ?
exo7 1881
Montrer que \(\forall p\geq 1\), l’application ...
exo7 1882
Soit ...
exo7 1884
Soit \((E,N)\) un espace vectoriel normé. Montrer : ...
exo7 1892
Soit \((E,\Vert \quad \Vert )\) un espace vectoriel normé sur \(\Rr\). On pose ...
exo7 1898
Soit \((E, \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1900
I Préliminaires
exo7 1908
Représenter et calculer le volume de ...
exo7 1915
Soit \(a>0\) et \(D\) le domaine délimité par la courbe d’équation polaire ...
exo7 1922
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d’axes \((Ox)\) et ...
exo7 1926
Théorème de Guldin Soit \(D_0\) un domaine tracé dans le demi-plan ...
exo7 1956
Soit \(P\) un plan muni d’un repère \(\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})\), les point ...
exo7 1957
Les trois points \(A\), \(B\) et \(C\) de ...
exo7 1958
Dans l’exercice suivant, on considère des couples de deux droites \(D_1\) et ...
exo7 1959
On considère les deux droites du plan \(D : 2x-3y+4 = 0\) et ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 1962
Dans le triangle \(ABC\), on considère trois points \(P, Q, R\), sur les côtés ...
exo7 1964
Dans le triangle \(ABC\), on considère trois points \(P, Q, R\), sur les droites ...
exo7 1983
Montrer que ...
exo7 1984
Soit \(E\) euclidien orienté de dimension 3 et \(a\in E\).
Soit ...
exo7 1985
Soient \(a\) et \(b\) deux vecteurs de ...
exo7 1986
Soit \(R\) le rotation vectorielle d’angle \(\theta\) et d’axe orienté par le vec ...
exo7 1990
On considère l’espace vectoriel euclidien canonique et orienté \(\Rr^3\). Soient ...
exo7 1991
On considère les droites \(D : x+2y=5\) et \(D' : 3x- y = 1\) et on note ...
exo7 1992
On considère la famille des droites \(D_{\lambda} : x + \lambda y + 1 =0\), où ...
exo7 1993
On considère les trois points de \(P\) : \(A(2,-3)\), ...
exo7 1994
Calculer les angles :
exo7 1997
On considère dans le plan les deux droites
\((D : 3x + y = 5)\) et
...
exo7 1998
Soit \(C\) un cercle de centre \(I = (x_{0}, y_{0})\) et de rayon ...
exo7 1999
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan et ...
exo7 2000
Soient \(A, B, C\) les sommets d’un triangle équilatéral de coté \(1\). Détermine ...