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Effectuer les divisions euclidiennes des polynômes définis ci-dessous.

Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) un polynôme dont le reste de la division euclidienne par ...

Soit \(n \in \mathbb{N} \backslash\{0,1\}\). Montrer que ...

Soit les polynômes à coefficients réels \(A(X)=X^3+2 X-5\) et \(B(X)=X-1\).

Calculer la division euclidienne de \(X^5+1\) par \(X^4-2 X^3+X^2\).

Vérifier que le polynôme \(B(X)=X^2-X+1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}[X]\). ...

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ -2&1&-1 \\ 2&0&2 \end{pmatrix}\).

Soient les polynômes \(P=X^4+X^3-2X+1\) et \(Q=X^2+X+1\) de ...

Soit \(P_{0}\) un polynôme de \(\R_{n}[X]\), et ...

Soit \(\rho\) l’application de \(\R _4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...

Soit \(\rho\) l’application de \(\R_4[X]\) dans lui-même qui à un polynôme ...

Soit \(A\) un anneau quelconque. Alors l’anneau de polynômes \(A[x]\) n’est pas u ...

Soit \(f(x)\in A[x]\) un polynôme sur un anneau \(A\). Supposons que ...

Pour \(n,m\ge 2\), déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme ...

Soient \[f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1\] où ...

Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_2[x]\) et sa représentation linéaire ...

Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz_3[x]\) et ...

Trouver le \(\pgcd(f,g)\) dans \(\Zz[x]\) de ...

Soit \(P\in \Zz[x]\). Soit \(\dfrac{a}{b}\) sa racine rationnelle : ...

Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...

Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...

(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...

On dit que \(K\) est un corps gauche si \((K,+,\times)\) est un anneau et si ...

Soit \(P \in { K[X]}\). Démontrer que \(P-X\) divise ...

Donner un isomorphisme \(f\) entre \(\C^{n+1}\) et ...

Soit \(A \in { K[X]}\) de degré \(> 0\). Montrer que pour tout po ...

Soit \(B \in { K[X]}\) de degré \(n > 0\). On considè ...

Soit \(E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,\) et ...

Soient \(P \in { K[X]}\), \(a,b\in K\) distincts, et ...

Déterminer les polynômes \(P \in \Q_3[X]\) divisibles par ...

Calculer le pgcd de \(P\) et \(Q\) pour :

Chercher le reste de la division euclidienne de \((X+1)^n - X^n - 1\) par ...

Soit \(P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1\).

Trouver les restes des divisions euclidiennes :

Trouver \(\lambda, \mu \in \C\) tels que \(X^2+X+1\) divise ...

Soit \(P \in { K[X]}\) tel que les restes des divisions de \(P\) par ...

Soient \(P,Q \in { K[X]}\) non nuls et \(D = \text{pgcd}(P,Q)\).

Soient \(A,B,P \in { K[X]}\) avec \(P\) non constant. Montrer que si ...

Montrer que si \(p \le n\), alors \(X^{2^p} + X^{2^{p-1}} + 1\) divise ...

Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise \(X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1\). Pour ...

Montrer que \(X^2-2X\cos\theta+1\) divise ...

Soient \(p,q\in\C\) et \(P(X) = X^5 + pX + q\). Donner une CNS sur ...

Soient \(P,Q \in { K[X]}\).

Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 - X + 1\). Calculer ...

Soit \(F \in {\C(X)}\). Étudier ...

Effectuer la division euclidienne du polynôme \(P=X^5-X^4+2X^3+X^2 +4\) par ...

Soit \(P\) un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de \(P\) ...

Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme

\(X^n+X+1\) par le polynôme ...

Pour quelles valeurs de \(m\) le polynôme \(P=(X+1)^m -X^m-1\) est-il divisible p ...

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :