Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
a) Notions d’intégrale
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Intégrale d’une fonction continue et positive $f$ sur un segment $[a,b]$ : il s’agit de l’aire sous la courbe. Elle est notée $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. | La notion d’aire est ici intuitive et ne doit pas soulever de question théorique. |
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque. | Définition à partir de la partie positive et de la partie négative de la fonction. |
Extension de la définition au cas $b \leqslant a$. | |
Sommes de Riemann sur $[a, b]$ : $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + \frac{k}{n}(b - a)\right)$ | La notion d’aire étant admise, on admettra la convergence de la suite des sommes de Riemann dans le cas $\mathscr{C}^0$ et on pourra la justifier dans le cas $\mathscr{C}^1$. On observera que la formule n’était pas si intuitive : les erreurs élémentaires vont en rapetissant, mais sont aussi de plus en plus nombreuses. ⇌ Algorithme de calcul approché d’une intégrale. |
exo7 4230
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4234
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue. Pour \(n \in \N^*\), on pose ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4242
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On fixe ...
exo7 4243
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4247
Soit \(f : {[0,2\pi]} \to \R\) convexe de classe \(\mathcal{C}^2\). Quel est le s ...
exo7 4248
Soit \(f:\R \to \R\) convexe et \(g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t\). Montrer ...
exo7 4250
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^{n+p}\) telle que ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4257
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) continue. Montrer que ...
exo7 4258
Soit \((f_i)\) une famille de fonctions convexes sur un intervalle \(I\).
...
exo7 4261
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b])\), et ...
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4282
Soit \(f:\R \to \R\) continue, périodique de période \(T > 0\). On note ...
exo7 4283
Soit \(f\) une application continue de \([1,+\infty[\) dans ...
exo7 4285
Calculer \(\int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t\) en fonction de la constante d’Euler.
exo7 4287
Soit \(f : {[a,b[} \to {\R^+}\) continue croissante. On pose ...
exo7 4292
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) vérifiant ...
exo7 4293
Soit \(f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}\) une fonction décroissante telle que ...
exo7 4295
Soit \(f : {]0,{+\infty}[} \to \R\) une fonction continue telle que ...
exo7 4296
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) continue ayant une limite finie en \(+\infty\). Mo ...
exo7 4299
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) uniformément continue telle que ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4309
Soit \(f : {\R^+} \to {\R^+}\) de classe \(\mathcal{C}^1\), intégrable.
exo7 4311
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur ...
exo7 4313
Chercher \(\lim_{x\to0} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\ln(1+t^2)}{\sin^2t\sh t}\,d t\).
exo7 4314
Calculer les limites : \(\lim_{x\to0} \int_x^{3x} \frac t{\tan^2t}\,dt\) et ...
exo7 4315
Chercher \(\lim_{x\to+\infty} \frac1{x^2} \int_{t=3}^{x^2+x} \frac{\sin t\,d t}{3+\ln(\ln t)}\).
exo7 4318
Prouver l’existence pour \(x > 0\) de ...
exo7 4319
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Chercher ...
exo7 4322
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue. On pose ...
exo7 4323
Soit \(I_n = \int_{t=0}^1 t^n\ln(1+t^2)\,d t\). Montrer que \(I_n \to 0\) lorsqu ...
exo7 4324
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4325
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 4326
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4327
Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4328
Chercher un équivalent pour \(n\to\infty\) de ...
exo7 4329
Déterminer \(\lim_{n\to\infty} \int_{x=0}^{\pi/2} \frac{\sin^nx}{x+2}\,d x\).
exo7 4330
Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Déterminer ...
exo7 4331
Soit \(x\in{[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \le e^{-x}\). En déduire ...
exo7 4333
On pose \(I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t\).
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4335
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue atteignant son maximum en un unique point ...
exo7 4336
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}\) continue telle que ...
exo7 4338
Soient \(f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)\). On pose ...
exo7 4339
Calculer \(\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}\).
exo7 4344
On considère les fonctions définies par : \(f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2\) et ...
exo7 4347
On pose, pour \(x\) réel, ...
exo7 4348
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ...