Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 1
Outils 5 – Méthodes de calcul
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L’objectif de ce chapitre est de mettre en place quelques principes et exemples de maniement des symboles $\Sigma$ et $\Pi$, dont les usages sont constants. La présentation des coefficients binomiaux peut être faite dans ce contexte ou bien en lien avec le dénombrement.
On travaille dans $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
⇌ La plupart des formules présentées ici peuvent donner lieu à des algorithmes de calcul.
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Notation $\sum$. | On précise qu’une somme ayant un ensemble d’indices vide est nulle. |
Règles de calcul sur le symbole $\sum$ : Linéarité, changements d’indices (translations et symétries), télescopages. | |
Sommes doubles : $\displaystyle\sum_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq m}} a_{i,j}$ et $\displaystyle\sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{i,j}$. | Les attendus du programme se limitent au maniement de ces symboles conduisant à les mettre sous la forme de deux sommes simples successives. |
Notation $\prod$. | On précise qu’un produit ayant un ensemble d’indices vide vaut 1. |
Règles de calcul sur le symbole $\prod$. | On se contente de mettre en valeur la multiplicativité du symbole $\prod$. |
Factorielle, notation $n!$. | |
Somme de termes consécutifs d’une progression géométrique : $\displaystyle\sum_{0 \leq k \leq n} q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$. Sommes des $n$ premiers entiers et des $n$ premiers carrés. | La raison $q$ est dans $\mathbb{C} \setminus \{1\}$. |
Coefficients binomiaux. | On adopte la définition suivante : $\displaystyle\binom{n}{k} = \begin{cases} 0 & \text{si } k < 0 \text{ ou } k > n \\ \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} & \text{sinon.} \end{cases}$ |
Triangle de Pascal. Formule du binôme. | On met en valeur les formules : $\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \qquad \binom{n}{k} = \frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}$ $\displaystyle\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$ |
Des calculs
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes :
...
Des factorisations sympathiques
Soient \(x\) et \(y\) deux réels.
Des produits
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les produits suivants : ...
Des sommes combinatoires plus difficiles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes : ...
Des sommes doubles
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Déterminer les sommes suivantes :
Des sommes plus compliquées
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes : ...
exo7 1463
Soit \(E = \Rr_{n}[X]\). Montrer que ...
exo7 1465
Soient \(a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n}\) des
réels positifs.
Montrer que ...
exo7 153
Montrer :
exo7 170
Démontrer par récurrence: \[\sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]
exo7 174
Soit \(n\in\mathbb{N}\); montrer que pour tout entier \(k\geq 1\) on a ...
exo7 183
Pour \(p \in \left\{ 1, 2, 3\right\}\) on note ...
exo7 184
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces indices et à sommer en ...
exo7 1866
Soient \((a_i)_{1\leq i\leq n}\) et \((b_i)_{1\leq i\leq n}\) deux familles de ...
exo7 1938
Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 20
Soit \(z\) un nombre complexe de module \(\rho\), d’argument ...
exo7 21
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels. Mettre le nombre complexe ...
exo7 2101
On dispose d’un échiquier et de dominos. Les dominos sont posés sur l’échiquier soit horizontalement, soit verticalement de façon à couvrir deux ca ...
exo7 220
En utilisant la fonction \(x\mapsto(1+x)^n\), calculer : ...
exo7 221
Démontrer que \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) (pour \(0\le k \le p \le n\)). En ...
exo7 222
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
exo7 223
Démontrer que \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) pour \(1\le p \le n-1\).
exo7 224
Montrer que, pour \(p\) et \(n\) entiers naturels non nuls tels que ...
exo7 225
Montrer que: \[\sum_{k=0}^{p} C_n^kC_{n-k}^{p-k}= 2^pC_n^p ,\] où \(p\) et ...
exo7 226
Soient \(n\), \(p\) et \(q\) des entiers naturel ...
exo7 227
Soient \(m,n\in\Nn^*\) et \(p\in\Nn\). En utilisant la formule du binôme, démontr ...
exo7 228
En utilisant la formule du binôme montrer : ...
exo7 229
Calculer le module et l’argument de \((1+i)^n\). En déduire les valeurs de ...
exo7 230
Démontrer les formules suivantes :
exo7 233
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que \(\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k = 0\). En déduire la ...
exo7 234
Soient \(0 \leq p \leq n\).
exo7 2658
Le but de cet exercice est de montrer que \[\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}\] ...
exo7 2698
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté unité et \(T_0\) son intérieur. On c ...
exo7 2725
Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...
exo7 2900
Calculer \(\sum_{k=0}^n\, kC_n^k\) et \(\sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{k+1}\).
exo7 2901
Soient \(n,p \in \N^*\) avec \(n \ge p\).
exo7 2902
Soient \(n,p \in \N^*\). Simplifier \(\sum_{k=0}^p\,(-1)^kC_n^k\).
exo7 2903
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Calculer ...
exo7 2904
Soit \(n \in \N\). Calculer \(\displaystyle\sum_{i+j=n}ij\) et ...
exo7 2905
Soient \(n,p \in \N\). On note \(\Gamma_n^p\) le nombre de ...
exo7 2906
Soient \(n,p \in \N\). Montrer que \(\sum_{k=0}^n C_{p+k}^p = C_{p+n+1}^{p+1}\). ...
exo7 2907
Soit \(n \in \N\) fixé. Déterminer pour quelle valeur de ...
exo7 2908
Soit \(p \in \N^*\), et \(n = 2^p\).
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2910
Soit \((x_n)\) une suite de réels. On pose ...
exo7 2911
Soit \(u_n = \sum_{p=0}^n C_{n-p}^p\). Montrer que \(u_0 = u_1 = 1\) et : ...
exo7 2944
Simplifier \(x = \prod_{p=2}^n\frac {p^3-1}{p^3+1}\) en utilisant \(1,j,j^2\). ...
exo7 2951
A l’aide de formules du binôme, simplifier :
exo7 2956
Résoudre en \(x\) : ...