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Dans le cours nous avons déjà montré que le produit de polynômes primitifs est aussi primitif et que ...

Soit \(R\) un anneau intègre dans lequel toute chaı̂ne décroissante d’idéaux est finie. Démontrer que ...

Montrer que dans un anneau fini tout idéal premier est maximal.

Montrer que un idéal propre \(I\) de l’anneau \(A\) est premier ssi quand le prod ...

Soit \(A\) un anneau. Trouver les anneaux quotients ...

Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...

Montrer que les idéaux \((5, x^2+3)\), \((x^2+1,x+2)\), ...

Démontrer que si \(J\) est un idéal premier de l’anneau \(\Zz[x]\), alors ...

Soient \(A\) un anneau et \(I\) et \(J\) les idé ...

Démontrer que les anneaux suivants sont isomorphes \[\Zz/72\Zz\times \Zz/84\Zz\cong \Zz/36\Zz\times \Zz/168\Zz.\] ...

Soit \(C=A\times B\) le produit direct de deux anneaux. Décrire les ensembles des éléments inversibles, des divise ...

Trouver les facteurs multiples des polynômes suivants :

Trouver le polynôme \(f\in \Zz[x]\) du dergé le plus petit tel que ...

Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).

Soit \(G\) le groupe multiplicatif des matrices complexes d’ordre \(n\). Parmi le ...

Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

Montrer qu’un groupe \(G\) dont les seuls sous-groupes sont \(G\) et ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif (c’est-à-dire dont la loi est notée multiplicativemen ...

Montrer que les éléments d’ordre fini d’un groupe commutatif \(G\) forment un sous-group ...

Soit \(G\) un groupe commutatif multiplicatif, \(a\) et ...

Montrer qu’un groupe fini dont l’ordre est un nombre premier est cyclique.

Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux transpositions de ...

Montrer que l’intersection de deux sous-groupes de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de ...

Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{Z}\) ; montrer que la famille des sou ...

Soit \(G\) un groupe additif, et \(H,K,L\) trois sous-groupes de ...

Soit \(G\) un groupe fini et \(H,K\) deux sous-groupes de ...

Soit \(n \in \N^*\) et \(G = \Z/n\Z\). Soit ...

Soit \(G\) un groupe cyclique engendré par \(a\) d’ordre ...

Déterminer tous les sous-groupes finis de \((\C^*,\times)\).

Soient \(G\) et \(G'\) deux groupes et \(f\) ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(a \in G\) d’ordre ...

Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...

Soit \(n \in \N\), \(n \ge 3\). On note ...

Soit \(G\) un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu’il existe un élément d’ordre 2. ...

Soit \(G\) un groupe fini de cardinal impair. Montrer que : ...

Soit \(G\) un groupe fini tel que : \(\forall\ x \in G,\ x^2 = e\).

Déterminer tous les groupes finis de cardinal 6 (on admettra que dans un tel groupe, il existe un élément ...

Soit \(E = \R \setminus \{0,1\}\), et \(f : E \to E, x \mapsto {\frac 1x}\), ...

Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de ...

Soient \(H,K\) deux sous-groupes d’un groupe \(G\). Pour ...

Soit \(G\) un groupe commutatif fini d’ordre \(n = ab\) avec ...

Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\Q\) engendré par un nombre f ...

Soit \(p\) un entier naturel premier. On appelle \(G\) l’ensemble des ...

Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(p^k\) où ...

On considère le groupe \(G = \Z^2\). Une base de ...

Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(n\). Montrer qu’il existe une partie g ...

Soit \(G\) un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que \(G\) est ...

Soit \(E\) un ensemble fini et \(A = {\cal P}(E)\).

Soit \(A\) un anneau commutatif non nul dont les seuls idéaux sont ...

Un idéal \(I\) d’un anneau \(A\) est dit premier si : ...