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Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(a\in A\) est nilpotent s’il existe ...

Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...

Soit l’anneau \(A=\Zz{/}91\Zz\).

Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)

Soit \(f\) un morphisme de groupes de \(\Zz/15\Zz\) dans ...

Soit \(f:\Zz \to \Zz/3\Zz \times \Zz/5\Zz\) définie par ...

Montrer que tout entier \(n>0\) divise toujours \(\varphi(2^n-1)\) (où ...

Examiner les carrés \(\quad a^2 \mod n\) pour \(n=3, \ 4,\ 8\).

Trouver toutes les solutions des équations :

Un élément \(a\) d’un anneau \(A\) s’appelle nilpotent, s’il existe ...

Soit \(f\in \Zz[x]\). Considérons la reduction du polynôme \(f\) modulo ...

Démontrer que les anneaux suivants sont isomorphes \[\Zz/72\Zz\times \Zz/84\Zz\cong \Zz/36\Zz\times \Zz/168\Zz.\] ...

Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).

Soit \(K\) un corps fini de cardinal \(n\). Si ...

Résoudre dans \(\Z/37\Z\) :

Dresser la liste des cubes dans \(\Z/13\Z\).

Soient \(n,p \ge 2\). Montrer que : \(n \wedge p = 1 \iff \exists\ k > 0\) tel ...

Soient \(n,p \in \N^*\) tels que \(n \wedge p = 1\). Pour ...

Soit \(n \ge 2\). Montrer que \(n\) est premier si et seulement si ...

Montrer que pour tout entier \(a\) impair et tout \(n\ge 3\) : ...

Démontrer que \(f\) est une permutation de \(E\).

Soit \(p\) un nombre premier impair. Montrer que \(\dot k\) est un carré ...

Soit \(n\) un entier premier impair supérieur ou égal à  ...

Soit \(p\) un nombre premier. Montrer que ...

On considère la suite \((x_n)\) à valeurs dans  ...

Soit \(p\) un nombre premier impair.

Soit \(n\ge 3\). Montrer que \(\varphi(n)\) est pair et que ...

Dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), écrire l’ensemble des multiples de \(\bar x\), c ...

Combien d’automorphismes a un groupe cyclique d’ordre \(p\), où \(p\) est un nomb ...

(Théorème d’Euler) Soit \(n\in \N^*\) et \(a\in \Z^*\) premier avec ...

Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux et un seul de \(\Z /4\Z\) à ...

Dans \(\Z /10\Z\) montrer que les multiples de 5 forment un anneau isomorphe à ...

Résoudre les congruences simultanées suivantes :

Montrer que le polynôme \(X^2-1\) a quatre zéros dans \(\Z /15\Z\). Est-ce que ce ...

Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :

Calculer la dérivée du polynôme \((3X^2+2X-4)(4X^3-2X+3)\in \mathbb{F}_5 [X]\).

Ecrire les tables d’opération dans l’anneau \(\Z/6\Z\).

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a vu co ...

Le but de cet exercice est de déterminer tous les morphismes d’anneaux de \(\Z/10\Z\) dans un ...

Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...

Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...

\(20606\) appartient-il à \(14443 + 3079 \Z\) ?

L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?

Déterminer la liste des inversibles de \(\Z/15\Z\). Déterminer l’ordre de chaque élément dans ...

Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{19}\) avec l’éléme ...

Enoncer le théorème de Lagrange.

Quels sont les ordres possibles des éléments d’un groupe d’ordre \(6\) ?

Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?

Le but de ce problème est de montrer que l’équation \(X^2+X+1=0\) peut avoir un nombre arbitrairement grand de ...

Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/12\Z)\) ?