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Soient \(G\) un groupe et \(x\in G\) un élément d’ordre ...

Soient \(G\) un groupe et \(x, y\in G\) des éléments qui commutent et d’ordres re ...

Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...

Donner la liste des générateurs de \((\Z /n\Z ,+) .\)

Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)

Soient \(G\) un groupe fini et \(m\) un entier premier à l’ordre de ...

Soit \(G\) un groupe abélien et \(a\) et ...

Soient \(n\geq 0\) un entier et \(p\) un nombre premier tels que ...

Démontrer que si \(p\) est un nombre premier, \(p\) divise ...

Pour quel \(n\), \(m\) dans \(\Zz\) la fraction ...

Trouver toutes les solutions des systèmes suivantes :

Quels sont les restes des division de \(10^{100}\) par \(13\) et par ...

Soit \(\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ \) l’anneau des entiers modulo \(36\).

Montrer que si \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels tels que ...

Montrer que \(\forall n\in \Nn\) : ...

Les nombres \(a\), \(b\), \(c\), ...

On définit les trois ensembles suivants : ...

Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.

Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.

Si \(a,b,c,d\) sont des entiers supérieurs à \(1\), montrer que l’on a : ...

Soient \(a,b,c\) des entiers relatifs tels que \((a,b)\not =(0,0)\), montrer que ...

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que ...

Déterminer l’ensemble de tous les couples \((m,n)\) tels que \[955m+183n=1.\] ...

Soient \(a,b\) deux éléments d’un groupe multiplicatif ...

Soit \(G\) un groupe multiplicatif et \(a \in G\) d’ordre ...

Soit \(G\) un groupe commutatif fini d’ordre \(n = ab\) avec ...

Démontrer : \[a\wedge(b_1b_2)=1 \Leftrightarrow (a\wedge b_1=1 \text{ et } a\wedge b_2 =1),\] puis par récurence ...

On considère le groupe \(G = \Z^2\). Une base de ...

Démontrer pour \(m,n \in \Nn^*\) : ...

Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, \(1008\), et leur pgcd, ...

Résoudre dans \({\Zz}:1665x+1035y=45.\)

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers positifs.

Soit \(\sigma\) un \(k\)-cycle de \({\cal S}_n\) ...

Calculer \(\mbox{pgcd}(18,385)\) par l’algorithme d’Euclide, en déduire un couple ...

Soit \(p \in \N\) premier. Montrer que pour \(1 \le k \le p-1\), ...

Soit \(p \in \N^*\) premier et \(n \in \N^*\), ...

Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^7 \equiv n (\mathrm{mod}\, {42})\).

Trouver \(a\) et \(b\) entiers naturels tels que

Montrer que pour tous entiers \(m\) et \(n\), le nombre ...

Soient \(a,b,c \in \Z\) tels que \(a\wedge b = 1\). Montrer que ...

Soient \(a,b\) entiers, \(d = a \wedge b\), ...

Soient \(a,b \in \Z\). Chercher \((a-b)^3 \wedge (a^3 - b^3)\).

Soit \(n \in \N\). Chercher \((n^3+n) \wedge (2n+1)\).

Soient \(d,m \in \N^*\). Donner une condition nécéssaire et suffisante sur ...

Trouver les couples d’entiers \((x,y) \in \Z^2\) tels que : ...

Résoudre : \[\begin{cases}x^2+y^2 = 85113\cr x\vee y = 1764.\end{cases}\]

Résoudre : \(\begin{cases} x \vee y = 210(x \wedge y)\cr y-x = x \wedge y.\end{cases}\)

Résoudre dans \(\Z^*\) : \(x \vee y = x + y - 1\).

Résoudre dans \(\N^*\) : ...

Soient \(a_1, \dots, a_n \in \N^{*}\) et \(b_i = \prod_{j \ne i} a_j\). Montrer q ...