Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Calcul matriciel et systèmes linéaires
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Le but de cette section est de présenter une initiation au calcul matriciel. Ainsi, on prépare l’étude géométrique de l’algèbre linéaire menée au second semestre, on revient sur l’étude des systèmes linéaires et on obtient des exemples fondamentaux d’anneaux.
- a) Opérations sur les matrices 111
- b) Opérations élémentaires 15
- c) Systèmes linéaires 90
- e) Anneau des matrices carrées 349
exo7 3413
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3414
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3415
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3416
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3417
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3435
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\). Démontrer que : ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
exo7 3454
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3461
Chercher les rangs des matrices suivantes :
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3472
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\), et \(B = {}^t\!AA\).
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 3475
Soit \(M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}\) une matrice carrée décomposée en blocs. On ...
exo7 3476
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) et \(E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)\) tq ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3480
Soit \(A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) antisymétrique.
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3482
Soit une matrice \(M\) de rang \(r\) telle que : ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3497
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3504
Diagonaliser ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3537
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3542
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(A^2 = A\) et ...
exo7 3546
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\C)\) telle que \(A = A^{-1}\). ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...
exo7 3559
Soit \(M \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) telle que \(M \ne I\), et ...
exo7 3567
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Déterminer les scalaires \(\lambda\) et les matr ...
exo7 3576
Soit \(\Phi : {\mathcal{M}_n(\C)}\to {\mathcal{M}_n(\C)}\) un automorphisme d’ev tel que : ...
exo7 3580
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_{3}(\C)\) telles que \(A^3\) est se ...
exo7 3585
Soit \(A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}\).