Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
f) Racines $n$-ièmes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Description des racines $n$-ièmes de l’unité, d’un nombre complexe non nul donné sous forme trigonométrique. | Notation $\mathbb{U}_n$. Représentation géométrique. |
exo7 412
Dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\), décomposer les polynômes suivan ...
exo7 413
Quelle est la décomposition de \(X^6+1\) en facteurs irréductibles dans ...
exo7 42
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(z^3 = \frac 14(-1+i)\) et montrer qu’une seule ...
exo7 422
Soit \(n \in \Nn^*\) et \(P (X) = (X + 1)^n- (X-1)^n\).
exo7 423
Factoriser dans \(\Rr[X]\) :
exo7 43
Trouver les racines cubiques de \(2-2i\) et de \(11+2i\).
exo7 435
Soit \(n\in \Nn^{*},P\in \Cc[X]\) de degré \(n\), avec ...
exo7 437
Soit \(n\in \Nn^{*},\) et \(P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.\) Quel est le degré de ...
exo7 44
Calculer \(\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}\) algébriquement, puis trigonométriquement. En déduir ...
exo7 443
Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \[\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr\] ...
exo7 45
Trouver les racines quatrièmes de \(81\) et de \(-81\).
exo7 48
Résoudre \(z^3 = 1\) et montrer que les racines s’écrivent \(1\), ...
exo7 49
Résoudre dans \(\Cc\) :
exo7 50
Calculer les racines \(n\)-ièmes de \(-i\) et de ...
exo7 5075
On veut calculer \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\sin\frac{2\pi}{5}\). Pour cela, on ...
exo7 51
Soit \(\epsilon\) une racine \(n\)-ième de l’unité ; calculer ...
exo7 5119
Calculer de deux façons les racines carrées de \(1+i\) et en déduire les valeurs exactes de ...
exo7 5121
On pose \(z=e^{2i\pi/5}\) puis \(a=z+z^4\) et ...
exo7 5122
Soit \(\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\) donné. Résoudre dans ...
exo7 5124
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du pla ...
exo7 5126
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \((z^2+1)^n-(z-1)^{2n}=0\).
exo7 5131
Déterminer les racines quatrièmes de \(i\) et les racines sixièmes de ...
exo7 5135
On considère l’équation \((E)~:~(z-1)^n-(z+1)^n=0\) où \(n\) est un entier nature ...
exo7 5137
La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.
exo7 52
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \((z+1)^n=(z-1)^n\).
exo7 5274
Soit \(\omega=e^{2i\pi/n}\), \((n\geq 2)\). Soit ...
exo7 53
Résoudre, dans \(\Cc\), l’équation \(z^n=\overline{z}\) où ...
exo7 5313
Calculer \(a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}\), ...
exo7 5314
On pose \(\omega_k=e^{2ik\pi/n}\) et \(Q=1+2X+...+nX^{n-1}\). Calculer ...
exo7 5318
Pour quelles valeurs de l’entier naturel \(n\) le polynôme \((X+1)^n-X^n-1\) est- ...
exo7 5336
Décomposer en éléments simples dans \(C(X)\) les fractions rationnelles suivantes
...
exo7 5337
Soit \(U_n\) l’ensemble des racines \(n\)-ièmes de l’unité dans ...
exo7 5342
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans \(\Rr[X]\) le polynôme ...
exo7 5345
Former une équation du sixième degré dont les racines sont les \(\sin\frac{k\pi}{7}\) où ...
exo7 5348
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour ...
exo7 54
Résoudre les équations suivantes : ...
exo7 55
Résoudre \(z^6 +27 =0\). (\(z \in \Cc\))
exo7 56
Soient \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) trois nombres c ...
exo7 5613
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et ...
exo7 57
Résoudre dans \(\Cc\) l’équation \(27 (z-1)^6 + (z + 1)^6 = 0\).
exo7 58
Déterminer les racines quatrièmes de \(-7-24i\).
exo7 59
Soit \(\beta \in \Cc\) tel que \(\beta^7=1\) et ...
exo7 67
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan co ...
exo7 68
Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et ...
exo7 6959
Factoriser dans \(\Rr[X]\) et \(\Cc[X]\) les polynômes suivants : ...
exo7 7006
Soit \(ABC\) un triangle direct. Soient \(P, Q, R\) tels que ...
exo7 7163
Soit \(ABC\) un triangle. Montrer qu’il est équilatéral direct ssi les affixes (un repère orthonormé direct ayant ...
exo7 7164
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct, et \(M\) un point. On note ...
exo7 7378
Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l’unité d’ordre \(8\). Soit ...
exo7 7521
Déterminer les racines carrées et les racines cubiques de \(i\).