Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
h) Interprétation géométrique des nombres complexes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Interprétation géométrique des module et arguments de $\dfrac{c - a}{b - a}$. | Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité. |
Interprétation géométrique des applications $z \mapsto az + b$ pour $(a, b) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}$. Interprétation géométrique de la conjugaison. | Similitudes directes. Cas particuliers : translations, homothéties, rotations. L’étude générale des similitudes est hors programme. |
exo7 100
Étudier la suite \((z_{n})_{n\in \Nn}\) définie par: \(z_{0}=4,\) ...
exo7 1084
Soit \(f : \C \rightarrow \C\) l’application \(z \mapsto e^{i\theta }\bar{z} .\) ...
exo7 2004
Déterminer les \(z\in \Cc\) tels que \(z, z^{2}, z^{4}\) soient alignés.
exo7 2005
Si \(a\) et \(b\) sont les affixes de deux sommets opposés d’un carré, calculer l ...
exo7 2007
Pour \(a, b, c\) trois nombres complexes tels que \(b\neq c\), on note ...
exo7 2041
Dans le plan cartésien identifié à \(\Cc\), un point \(M\) est représenté par son ...
exo7 23
Mettre sous forme trigonométrique \(1 + e^{i\theta}\) où ...
exo7 25
Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...
exo7 2925
Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...
exo7 2926
Soit \(f : {\C\setminus\{i\}} \to {\C\setminus\{1\}}, z \mapsto {\frac {z+i}{z-i}}\)
exo7 2928
Soient \(a,b,c \in \C\) distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
exo7 2929
Soient \(a,b,c,d \in \C\) tels que ...
exo7 2930
Déterminer les nombres \(z \in \C\) tels que \(\dots\)
exo7 2935
Soient \(a,b,c,d \in \C\) deux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports ...
exo7 2936
On donne un triangle \(ABC\), un réel positif \(k\) et un angle ...
exo7 2937
Soient \(a,b,c \in \C\), affixes de points \(A,B,C\) non alignés. Ca ...
exo7 2945
Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...
exo7 3262
Soit \(P = X^3 + pX + q\) de racines \(a,b,c\).
exo7 3263
Soient \(A,B,C\) les points dont les affixes sont les racines de \(X^3 + pX + q\) ...
exo7 4411
Soient \(M,M'\) deux points du plan d’affixes \(z = x+iy\) et ...
exo7 5123
Soit \((ABC)\) un triangle dont les longueurs des côtés \(BC\), ...
exo7 5124
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du pla ...
exo7 5127
Déterminer les complexes \(z\) tels que \(z\), ...
exo7 5134
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe :
exo7 5135
On considère l’équation \((E)~:~(z-1)^n-(z+1)^n=0\) où \(n\) est un entier nature ...
exo7 5207
Nature et éléments caractéristiques de la transformation d’expression complexe :
exo7 5346
Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\).
Montrer qu ...
exo7 5544
Déterminer l’image du cercle trigonométrique par la fonction ...
exo7 60
Déterminer l’ensemble des nombres complexes \(z\) tels que :
exo7 61
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation (1) \((z-2)/(z-1)=i.\) On donnera la solu ...
exo7 62
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et identifié à l’ensemble ...
exo7 63
Le plan \(P\) est rapporté à un repère orthonormé et on identifie \(P\) à l’ensem ...
exo7 65
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 66
Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes \(z\) tels que ...
exo7 67
Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan co ...
exo7 6732
Calculer \(\int_C(z^2+3z)\ dz\) le long des chemins suivants :
exo7 68
Soit \(H\) une hyperbole équilatère de centre \(O\), et ...
exo7 69
Montrer que pour \(u,v \in \Cc\), on a \(|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).\) Donner ...
exo7 7004
Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe direct. On construit quatre carrés qui s’appuient extérieurement sur les côt ...
exo7 7005
Soit \(ABC\) un triangle direct. On construit trois carrés qui s’appuient extérieurement sur les côtés ...
exo7 7006
Soit \(ABC\) un triangle direct. Soient \(P, Q, R\) tels que ...
exo7 7008
On admet le résultat suivant:
Quatre points distincts d’affixes \(a, b, c, d\) sont cocycliques ou align ...
exo7 7009
Déterminer une équation complexe de la droite
exo7 7010
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts d’affixes ...
exo7 71
Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan complexe, d’affixe \(z\) tels que ...
exo7 7106
Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\), et ...
exo7 7107
Soit \(ABCD\) un carré de centre \(O\), et \(M\) ...
exo7 7112
Soit \(ABCD\) et \(A'B'C'D'\) deux carrés du plan inclus l’un dan ...
exo7 7146
Écrire en coordonnée complexe :
exo7 7148
Soit \(a\in \C^*\), et soit \(f\) la similitude directe du plan représentée par ...