Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Polynômes et fractions rationnelles
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et fractions rationnelles. Il s’agit d’objets particulièrement riches, dont l’étude interagit avec beaucoup de thèmes abordés pendant le semestre. Par exemple :
- l’étude des équations algébriques enrichit le calcul algébrique et suggère des problèmes de localisation des racines, mettant en jeu des techniques analytiques dans le cas réel, plus géométriques dans le cas complexe ;
- l’interpolation de Lagrange permet de reconstituer un polynôme en fonction de ses valeurs en suffisamment de points et donne lieu à des problèmes issus de la théorie de l’approximation (majoration de l’erreur d’interpolation).
L’arithmétique de $\mathbb{K}[X]$ est développée selon le plan déjà utilisé pour l’arithmétique de $\mathbb{Z}$, ce qui autorise un exposé allégé. Le programme se limite au cas où le corps de base $\mathbb{K}$ est égal à $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Anneau des polynômes à une indéterminée 95
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Arithmétique dans $\mathbb{K}[X]$ 74
- f) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 82
- g) Formule d’interpolation de Lagrange 13
- h) Fractions rationnelles 39
- i) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$ 70
exo7 3287
Soient \(a_1, \dots, a_n \in K\) distincts et ...
exo7 3288
Trouver les fractions \(F \in {\R(X)}\) telles que : ...
exo7 3289
Soient \(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\), et \(c\) des scalaires distincts. On ...
exo7 3290
Soit \(P \in {\R[X]}\) ayant \(n\) racines positives distinctes (entre autres). ...
exo7 3291
Soit \(P\in\R[X]\) unitaire de degré \(n\) et ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3324
Soient \(K, \mathbb{L}\) deux corps avec \(K \subset \mathbb{L}\).
Un élém ...
exo7 3396
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}\).
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3443
Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et ...
exo7 3447
Soit \(A\) un anneau commutatif, \(x_1,\dots,x_n\in A\). Dé ...
exo7 3458
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R\). Mettre le déterminant : ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...
exo7 3511
Soit \(E = K_n[X]\) et \(u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}\) Chercher les v ...
exo7 3515
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme \(\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}\) ...
exo7 3528
On considère le polynôme défini par : \(\forall\ n \in \N,\ P_n(x) = x^n - \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_ix^i\) avec ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3552
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 + A^2 + A = 0\). Montrer que ...
exo7 356
Effectuer la division euclidienne du polynôme \(P=X^5-X^4+2X^3+X^2 +4\) par ...
exo7 3563
Caractériser les polynômes \(P\) tels que : \(\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)\), ...
exo7 3565
Le polynôme \(X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1\) peut-il être le polynôme minimal d’u ...
exo7 357
Soit \(P\) un polynôme. Sachant que le reste de la division euclidienne de \(P\) ...
exo7 3572
Soient \(u,v\) deux endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) non nul tels que ...
exo7 3577
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) semblables sur \(\C\) : Il existe ...
exo7 358
Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme
\(X^n+X+1\) par le polynôme ...
exo7 3586
Soit \(A \in \mathcal{M}_{3}(\R)\) ayant pour valeurs propres \(1,-2,2\), et ...
exo7 359
Pour quelles valeurs de \(m\) le polynôme \(P=(X+1)^m -X^m-1\) est-il divisible p ...
exo7 3597
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 36
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes :
exo7 360
Montrer que le polynôme \(P(X)-X\) divise le polynôme \(P(P(X))-X\).
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 361
Déterminer \(a,b \in \Zz\) de façon à ce que le polynôme \(aX^{n+1}-bX^n+1\) soi ...
exo7 3611
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 362
Existe-t-il un polynôme \(P\) de degré 7 tel que \((X-1)^4\) divise ...
exo7 3629
Soit \(E = \R_{2n-1}[X]\), et \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. On note : ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3632
Soit \(E = K_n[X]\). On note \(P_0 = 1\), ...
exo7 3635
Soit \(E = K_n[X]\), \(Q \in E\) de degré \(n\) ...
exo7 3636
Soit \(E = K_n[X]\). Soit \(\varphi \in E^*\) telle que : ...
exo7 364
Effectuer les divisions euclidiennes de
\(3X^5+4X^2+1 \ \text{ par }\ X^2+2X+3\),
...
exo7 365
Dans \(\Cc[X]\), effectuer les divisions euclidiennes de
...
exo7 3652
Soit \(E = K_3[X]\), \(F = \{ P \in E\) tq ...
exo7 367
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres complexes distincts, ...
exo7 368
Pour \(n\in\mathbb{N}\), quel est le reste de la division de \(X^n+X+b\) par ...
exo7 3683
Soit \(E = \R_n[X]\) et \((P\mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).