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Calculer \(Z(S_n)\) suivant les valeurs de \(n\in \N .\)

Le groupe \(G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3\) est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de ...

Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathcal{S}_n.\)

Montrer que dans \(\mathcal{S}_n\) on a \(f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))\). ...

Montrer que \(\mathcal{S}_n\) est isomorphe à un sous-groupe de ...

Montrer que tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe de \(S_{n}\) (groupe symétrique) ...

Déterminer tous les sous-groupes de \(\Zz/8\Zz.\)

Décrire le groupe-quotient \(\Rr^{*}/\Rr_{+}^{*}\) et montrer qu’il est isomorphe à ...

Soit \(G\) le sous-groupe de \(Gl(2, \R )\) engendré par les matrices ...

Les questions sont indépendantes.

Soit \(R\) une rotation de \(\Rr^{3}\) d’axe ...

Soit \(G\) un sous-groupe fini de l’ensemble des isométries du plan. Montrer que ...

Soit \(X = \left\{ A, B, C, D\right\}\) les sommets d’un carré du plan et ...

On considère sur \(\R\) la loi de composition définie par \(x\star y= x+y-xy\). C ...

Soit \(E\) un monoı̈de unitaire. On dit qu’un élément \(a\) de ...

Soit \(E\) un ensemble muni d’une loi \(\star\) associative

(i) admettant ...

Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif de \(\R^{\times}\)?

Montrer que l’ensemble \(\{2^n \hskip 2pt | \hskip 2pt n\in \Z \}\) est un sous-groupe multiplicatif de ...

Montrer que l’ensemble des matrices carrées à \(n\) lignes et \(n\) colonnes de d ...

On considère l’ensemble \(E\) des matrices carrées à coefficients réels de la forme

...

Soit \(G\) un groupe vérifiant ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre impair. Montrer que l’application \(f\) de ...

Soit \(G\) un groupe et \(H<G\), \(K<G\) d ...

Soit \(H\) une partie non vide d’un groupe \(G\). On pose ...

Soit \(G\) un groupe et \(H,K\) deux sous-groupes de ...

Montrer que dans un groupe \(G\), toute partie non vide finie stable par la loi de composition est un sous-groupe. ...

(a) Montrer que les seuls sous-groupes de \(\Z\) sont de la forme \(n\Z\) où ...

On pose ...

Soit \(G\) un groupe commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments d’ordre fini de ...

Déterminer tous les sous-groupes de \(\mu_2 \times \mu_2\).

Soient \(G\) un groupe fini et commutatif et \(\{ G_i\} _{i\in I }\) la famille d ...

Déterminer tous les groupes d’ordre \(\leq 5\). En déduire qu’un groupe non commutatif possède au moins 6 éléments ...

Le centre d’un groupe \(G\) est l’ensemble \(Z(G)\) des éléments de ...

Soient \(G\) un groupe et \(H\) et \(K\) deux so ...

Déterminer tous les sous-groupes du groupe symétrique \(S_3\).

Montrer que dans un groupe d’ordre \(35\), il existe un élément d’ordre ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2p\) avec \(p\) u ...

Soient \(n\geq 0\) un entier et \(p\) un nombre premier tels que ...

Montrer que \(a*b = \dfrac{a + b}{1 + ab}\) est une l.c.i sur \(]-1, 1[\) et déte ...

Trouver \[999\cdot 1998\mod 1999, \qquad 136^7 \mod 137, \qquad 1997\cdot 1998\cdot 1999\cdot 2000 \mod 2001.\] ...

Soit \(p\) un nombre premier et \(a\) un nombre pr ...

Donner la définition d’un corps. Les opérations binaires \(+\) et \(\cdot\), sont ...

Trouver toutes les solutions des équations :

Soit \(A\) un anneau. Démontrer que :

Si \(x\cdot y\) est inversible dans un anneau \(A\), alors ...

Démontrer que tout anneau intègre fini est un corps.

Lesquels de ces sous-ensembles donnés de \(\Cc\) sont des anneaux ? Lesquels sont ...

Les éléments inversibles d’un anneau \(A\) forment le groupe multiplicatif ...

Un élément \(a\) d’un anneau \(A\) s’appelle nilpotent, s’il existe ...

Soit \(I\) un idéal d’un anneau \(A\). On note par ...