Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
Calcul matriciel et systèmes linéaires
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Cette section a pour but de présenter une initiation au calcul matriciel, de préparer l’étude géométrique de l’algèbre linéaire menée au second semestre et de revenir sur l’étude des systèmes linéaires. Dans cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Opérations sur les matrices 111
- b) Opérations élémentaires 15
- c) Systèmes linéaires 90
- d) Ensemble des matrices carrées 259
exo7 3454
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3455
Soit \(n\in\N^*\), \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\in{(\R^*_+)}^n\), ...
exo7 3457
On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\), \(\alpha = e^{i\pi/n}\) et ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3461
Chercher les rangs des matrices suivantes :
exo7 3462
Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3465
Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...
exo7 3471
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)\). On consi ...
exo7 3473
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) de rang 1. On écrit \(M = P + iQ\) avec ...
exo7 3479
Soit \(M \in \mathcal{M}_3(K)\) antisymétrique. Quel est le rang de \(M\) ?
exo7 3481
Soit \(M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)\). On dit que \(M\) est à diago ...
exo7 3484
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Montrer que \(A\) est non inversible si et seuleme ...
exo7 3496
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3498
Diagonaliser les matrices suivantes :
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3507
Soit ...
exo7 3509
Soit \(M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que : ...
exo7 3518
Soit ...
exo7 3524
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{3}(\R)\).
exo7 3526
Soit \(C = \begin{pmatrix} a_1\cr \vdots\cr a_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) et ...
exo7 3530
On considère la matrice de \(M_n(\C)\), ...
exo7 3531
Soit \(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R\) et ...
exo7 3532
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B = A^{-1}\), ...
exo7 3535
Soient \(A,B\in\mathcal{M}_n(\C)\). Montrer l’équivalence entre :
(a) : ...
exo7 3536
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3541
Donner une CNS sur \(a,b\in\C\) pour que la matrice ...
exo7 3544
Soit ...
exo7 3551
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^3 = A + I\). Montrer que ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3591
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}\).
exo7 3594
Trouver le commutant de \(\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}\).
exo7 3598
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\C)\) diagonalisable. Soit ...
exo7 3601
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) et ...
exo7 3667
On munit \(\R^n\) du produit scalaire usuel. Soit ...
exo7 3677
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, ...
exo7 3680
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). Montrer que \(\det(^tAA) \ge 0\).
exo7 3728
Soit \(A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)\) à coefficients tous non nuls. On note ...
exo7 3729
Soit \(S\) une matrice carrée d’ordre \(n\), à coefficients réels, symétrique déf ...
exo7 3732
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension quelconque, ...
exo7 3752
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?
exo7 3753
Trouver les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que : ...
exo7 3777
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Montrer que \(A\) est symétrique définie positi ...
exo7 3778
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique. Pour \(1 \le p \le n\), on note ...
exo7 3786
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétriques définies positives. Montrer que ...
exo7 3807
Soient \(X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)\) indépendantes, \(a \in \R\) et ...