Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Dérivées partielles
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles en un point d’une fonction $f$ définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$, $\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$. L’existence des dérivées partielles n’entraîne pas la continuité. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur un ouvert. | Définition par la continuité des dérivées partielles. La notion de fonction différentiable est hors programme. |
Développement limité à l’ordre 1 au point $(x_0,y_0)$ d’une fonction $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ : $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k+o(\lVert(h,k)\rVert)$. | Démonstration hors programme. On met en évidence l’idée de l’approximation linéaire de $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$ et l’interprétation de $z-z_0=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)$ comme équation du plan tangent en $(x_0,y_0)$ à la surface d’équation $z=f(x,y)$. |
Gradient d’une fonction de classe $\mathscr{C}^1$. | Notation $\nabla f(x_0,y_0)$. |
Expression du développement limité à l’aide du gradient. | Le gradient de $f$ en $(x_0,y_0)$ définit la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite. |
exo7 1821
Calculer \(df\, (1,1)\), si \(f(x,y)=\frac{x}{y^2}\).
exo7 1822
Calculer la dérivée de la fonction \(F(x,y,z)=\ln \left( e^x+e^y+e^z\right)\) à l’origine dans une direction form ...
exo7 1823
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\R^2\) par ...
exo7 1824
Ecriver la formule de Taylor de second ordre pour chacune des fonctions suivantes au point \((x_0,y_0)\) donné. ...
exo7 1825
Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donné :
exo7 1826
Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle.
exo7 1827
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=x^3-3x(1+y^2)\). ...
exo7 1829
Déterminer les extremums de \(f (x, y) = xy (1-x^{2}-y{2})\) sur \([0, 1]^{2}\). ...
exo7 1832
Soit \(f (x, y) = (x^{2}-y) (3x^{2}-y)\).
Montrer que \(f\) admet un minim ...
exo7 1833
Soit \({f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}\), \({ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}\).
...
exo7 1834
Déterminer les extrémums de \(f:(x,y,z)\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.\)
exo7 1836
Si \(f\) est concave sur un ouvert convexe \(U\subset {\Rr}^{2}\) et si : ...
exo7 1837
Soit \(A\subset {\Rr}^{2},\) on définit \(\int(A)\) comme l’ensemble ...
exo7 1839
Soit \(f\) une fonction réelle de classe \({\cal C}^2\) sur un ouvert ...
exo7 1842
Soit \(f : \Rr ^2\rightarrow \Rr\) l’application \((x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.\) ...
exo7 1844
On pose \(\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}\).
Soit \(f:\R^2\rightarrow\R\) l ...
exo7 1845
Résoudre à l’aide des coordonnées polaires l’équation aux dérivées partielles : ...
exo7 1846
Résoudre l’équation des cordes vibrantes : ...
exo7 1847
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : \[x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}=f\] ...
exo7 1849
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) homogène de degr ...
exo7 1850
Soit \(f : \Rr^3 \rightarrow \Rr\) dérivable. On pose ...
exo7 1851
Soit \(f : \Rr^{2} \rightarrow \Rr\) une fonction \(C^{2}\). On pose ...
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 1853
Soient \(f~:\,\R^2 \to \R\) différentiable et \(g~:\,\R \to \R\) définie par ...
exo7 1854
Soient \(U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\) et ...
exo7 1855
Soit \(D=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}\). On cherche les fonctions ...
exo7 1856
Déterminer les fonctions \(f\in {\cal C}^1(\R^2,\R)\) vérifiant ...
exo7 1861
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) admettant des dérivées partielles continues en ...
exo7 1862
Soit \(f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}\) une application \(C^{1 }\) sur un ouvert co ...
exo7 2057
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}\) de classe \(C^{1},\) montrer que ...
exo7 2503
Soit \(f\) une application \(f\) de \(E\) dans ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 2511
Soit \(f:\Rr ^2 \to \Rr\) définie par ...
exo7 2622
Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définition \(D_f\). Pour chacune des fonctions, ca ...
exo7 2623
Soit \(f\) la fonction sur \(\R^2\) définie par ...
exo7 2624
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par \(f(x,y)=(x^2+y^2)^x\) pour ...
exo7 2625
Soit \(f\colon \R^2\rightarrow \R\) la fonction définie par ...
exo7 2626
Soit \(f\colon\R^3 \rightarrow \R\) une fonction de classe \(C^1\) et soit ...
exo7 2627
On considère les fonctions \(f\colon \R^2\longrightarrow \R^3\) et ...
exo7 2628
Trouver l’équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point \((x_0,y_0,z_0)\) donné:
exo7 2633
Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2634
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants: ...
exo7 2638
Calculer les matrices hessiennes des fonctions \(f\) définies par les expressions suivantes sur leur domaine de dé ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...
exo7 2640
Les variables étant notées \(x\) et \(t\), trouver la solution générale ...
exo7 2642
Trouver les points critiques de la fonction \(f\) suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima ...
exo7 2643
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle de classe \({\rm C}^2\) dans ...
exo7 2645
Soit \(\cal C\) la courbe plane d’équation \(f(x,y)=ye^{x}+e^y\sin(2x)=0\).
exo7 2648
On considère la fonction \(f(x,y)=2x^2 + y^2\), \((x,y)\in\R^2\).
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...