Programme de mathématiques PSI
a) Modes de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Convergence simple d’une suite de fonctions. Convergence uniforme. La convergence uniforme entraîne la convergence simple. Norme de la convergence uniforme sur l’espace des fonctions bornées à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. | |
Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale d’une série de fonctions. | Utilisation d’une majoration uniforme de $\lvert f_n(x)\rvert$ pour établir la convergence normale de $\sum f_n$. |
La convergence normale entraîne la convergence uniforme. | La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point. |
exo7 4555
Soin \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) conver ...
exo7 4556
Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...
exo7 4557
Soit \(f:\R \to \R\) continue, ayant même limite finie \(\ell\) en ...
exo7 4559
Déterminer un équivalent au voisinage de \(0\) de ...
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4620
Soit \(D\) le disque ouvert de \(\C\) de centre ...
exo7 4651
Soit \(\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)\) une série trigonométrique convergeant uniformément sur un in ...
exo7 4652
Soit \((a_n)\) une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série ...
exo7 5726
Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement uniforme)
...
exo7 5727
Pour \(n\in\Nn^*\), on pose ...
exo7 5729
Soit \((P_n)_{n\in\Nn}\) une suite de polynômes convergeant uniformément sur ...
exo7 5732
Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux :
exo7 5734
Pour \(n\in\Nn^*\), soit ...
exo7 5735
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(t\in\Rr\), soit ...
exo7 5737
Pour \(x\in]-1,1[\), on pose \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}\). Trouver un équ ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5749
Soient \(P_n =\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}\) et \(R > 0\) donné. Montrer que p ...
exo7 5878
Déterminer le rayon de convergence puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n\) quand ...
exo7 5922
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on définit \(f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}\) pa ...
exo7 6175
Montrer que toute fonction réglée sur \([0,1]\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.
exo7 6187
Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.
exo7 6200
Soit \(E=C_b(\Rr)\) muni de la norme uniforme; pour \(f\in E\), on note ...
exo7 6205
Soit \(E=C([0,1])\), \(\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt\), ...
exo7 6243
Soit \((f_n)\) une suite d’applications croissantes de \([0,1]\) dans ...
exo7 6247
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions réelles convergeant uniformément vers \(f\) ...
exo7 6263
Soit \(\Omega\) un ouvert convexe de \(\Rr^n\) et ...
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 6335
On cherche à résoudre le problème \[x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; .\] Écrire l’équation intégrale as ...
exo7 6655
On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour \(0<t<2\pi\)
...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 7543
Montrer que la série \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}\) converge de façon compacte sur ...
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 7553
On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...